Phần chung của mặt phẳng và hình cầu - Toán 9

Phần chung của mặt phẳng và hình cầu

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, phần chung của mặt phẳng và hình cầu đề cập đến giao tuyến giữa một mặt phẳng và một hình cầu trong không gian. Đây là kiến thức cơ bản giúp các em hiểu sâu về hình học không gian và vận dụng vào giải bài tập.

Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh phân tích được các trường hợp giao nhau giữa mặt phẳng và hình cầu, từ đó giải quyết các bài toán hình học không gian một cách chính xác.

Trong thực tế, kiến thức này ứng dụng trong thiết kế cầu, kiến trúc, kỹ thuật CAD và các bài toán liên quan đến mặt cắt hình cầu.

Các em có cơ hội luyện tập miễn phí với 30+ bài tập để củng cố và phát triển kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Giao tuyến của mặt phẳng$P$và hình cầu$(S)$là tập hợp các điểm vừa thuộc$P$vừa thuộc$(S)$.

- Các trường hợp: Không giao nhau, tiếp xúc (một điểm), hoặc giao tuyến là một đường tròn.

- Điều kiện phân loại dựa vào khoảng cách$d$từ tâm$O$của hình cầu đến mặt phẳng$P$và bán kính$R$của hình cầu:

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tính khoảng cách từ tâm$O(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$P: ax+by+cz+d=0$:

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

- Bán kính của đường tròn giao tuyến (khi$d<R$):

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

- Ghi nhớ: Nếu$d>R$→ không giao nhau;$d=R$→ tiếp xúc;$d<R$→ giao tuyến là đường tròn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hình cầu tâm$O(1,2,3)$bán kính$5$và mặt phẳng$P: x + y + z - 6 = 0$. Tính bán kính giao tuyến (nếu có).

Giải: Khoảng cách từ $O$ đến$P$là $d = \frac{|1+2+3-6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0$. Vì $d<R$, giao tuyến là đường tròn có bán kính $r = \sqrt{5^2 - 0^2} = 5$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hình cầu tâm$I(0,0,0)$bán kính$10$và mặt phẳng$P: 2x - 3y + 6z + 4 = 0$. Xác định tọa độ tâm và bán kính của giao tuyến.

Phương pháp: Tính khoảng cách $d = \frac{|4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} = \frac{4}{7}$. Vì $d<10$, giao tuyến là đường tròn. Tâm $H$là hình chiếu của$I$lên$P$, bán kính $r = \sqrt{10^2 - (4/7)^2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$d>R$: Không có giao điểm.

- Nếu$d=R$: Tiếp xúc tại một điểm duy nhất.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa giá trị $d$và bán kính$R$; dẫn đến phân loại sai trường hợp giao nhau.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên đặt dấu trị tuyệt đối khi tính$d$; sai kết quả.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 30+ bài tập Phần chung của mặt phẳng và hình cầu miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Giao tuyến của mặt phẳng và hình cầu có thể là đường tròn, điểm, hoặc rỗng dựa vào$d$và $R$.

- Công thức chính: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$, $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

- Checklist ôn tập: Định nghĩa, công thức, các trường hợp và ví dụ mẫu.