Phần chung của mặt phẳng và hình cầu: Giải thích chi tiết và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm “Phần chung của mặt phẳng và hình cầu” giúp xác định giao tuyến hình học giữa hai đối tượng không gian cơ bản. Hiểu rõ khái niệm này là tiền đề để giải các bài tập hình học không gian, cũng như ứng dụng trong kỹ thuật và đời sống.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này?
- Xác định giao tuyến hình học khi mặt phẳng cắt qua hình cầu.
- Áp dụng trong tính toán khối lượng, thiết kế cầu đường, kiến trúc.

Ứng dụng thực tế:
- Kỹ sư xây dựng xác định vị trí giao cắt giữa cấu kiện hình cầu và mặt phẳng bề mặt.
- Thiết kế đài quan sát, mái vòm, khoang chứa nhiên liệu hình cầu.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 30+ bài tập

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Giao tuyến giữa mặt phẳng và hình cầu có thể là đường tròn, một điểm hoặc không tồn tại phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng.

- Khoảng cách từ tâm$O(a,b,c)$ đến mặt phẳng$Ax+By+Cz+D=0$là$d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

- Ba trường hợp giao tuyến:
• $d<R$: giao tuyến là đường tròn bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}$.
• $d=R$: giao tuyến là một điểm (tiếp xúc).
• $d>R$: không có giao tuyến.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:
- Công thức tính khoảng cách: $d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
- Bán kính giao tuyến (nếu $d<R$): $r=\sqrt{R^2-d^2}$

Cách ghi nhớ hiệu quả:
- Liên tưởng khoảng cách$d$là “đường ngắn nhất” từ tâm đến mặt phẳng.
- Bán kính giao tuyến lấy từ định lý Pythagore trong tam giác vuông với các cạnh$d$và $r$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hình cầu tâm$O(0,0,0)$bán kính$R=5$và mặt phẳng$(P):x+y+2z-3=0$. Tính bán kính giao tuyến.

Bước 1: Tính khoảng cách từ $O$ đến$(P)$:$d=\frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{3}{\sqrt6}.$

Bước 2: Tính bán kính giao tuyến:$r=\sqrt{5^2-\bigl(\tfrac{3}{\sqrt6}\bigr)^2}=\sqrt{25-\tfrac{9}{6}}=\sqrt{\tfrac{141}{6}}.$

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hình cầu tâm$I(1,-2,3)$bán kính$R=10$và mặt phẳng$(Q):2x-2y+z+4=0$. Xác định giao tuyến.

- Tính $d=\frac{|2 \cdot 1-2 \cdot (-2)+3+4|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2+4+3+4}{3}=\frac{13}{3}$.
- Do $d<10$, giao tuyến là đường tròn bán kính $r=\sqrt{10^2-(\tfrac{13}{3})^2}=\sqrt{100-\tfrac{169}{9}}=\sqrt{\tfrac{731}{9}}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

-$d=R$: mặt phẳng tiếp xúc hình cầu tại một điểm.
-$d>R$: không có giao tuyến.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa giao tuyến (đường tròn) và giao điểm.
- Quên kiểm tra điều kiện$d<R$,$d=R$hay$d>R$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên giá trị tuyệt đối khi tính$d$.
- Sai số trong phép căn và bình phương.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 30+ bài tập Phần chung của mặt phẳng và hình cầu miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập của bạn!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Giao tuyến là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}$khi$d<R$, là điểm khi $d=R$, không tồn tại khi $d>R$.
- Checklist kiến thức: công thức $d$, công thức $r$, ba trường hợp.
- Kế hoạch ôn tập: giải nhiều bài tập, so sánh kết quả, tự kiểm tra lẫn nhau.