Phần chung của mặt phẳng và hình cầu – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

Giới thiệu về phần chung của mặt phẳng và hình cầu

Trong chương trình Toán lớp 9, các em sẽ tiếp cận nhiều khái niệm về hình học không gian, và "phần chung của mặt phẳng và hình cầu" là một chủ đề xuất hiện quan trọng. Việc hiểu rõ phần chung này giúp các em giải quyết các bài toán liên quan tới giao tuyến, thể tích, diện tích, đồng thời rèn luyện tư duy không gian – một kỹ năng thiết yếu cho những cấp học cao hơn.

Định nghĩa chính xác: Phần chung của mặt phẳng và hình cầu

Giả sử ta có hình cầu$(S)$tâm$O$, bán kính$R$và một mặt phẳng$(P)$. "Phần chung của mặt phẳng và hình cầu" chính là tập hợp tất cả những điểm vừa nằm trên mặt phẳng$(P)$vừa nằm trên (hoặc bên trong) hình cầu$(S)$. Ký hiệu hình cầu$(S)$tâm$O$, bán kính$R$là:$(S): x^2 + y^2 + z^2 = R^2$

Phần chung này có thể là:
- Một đường tròn (nếu mặt phẳng cắt hình cầu)
- Một điểm (nếu mặt phẳng tiếp xúc hình cầu – tiếp xúc tại một điểm gọi là tiếp điểm)
- Rỗng (nếu mặt phẳng không cắt hình cầu)

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định hình cầu và mặt phẳng
Giả sử hình cầu$(S)$có tâm$O(0,0,0)$bán kính$R$. Mặt phẳng$(P)$có phương trình:$ax + by + cz + d = 0$

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng
Công thức khoảng cách từ tâm $O(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng:
$d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Bước 3: So sánh khoảng cách$d$với bán kính$R$:
- Nếu$d < R$: Mặt phẳng cắt hình cầu, phần chung là một đường tròn.
- Nếu$d = R$: Mặt phẳng tiếp xúc hình cầu, phần chung là một điểm duy nhất – điểm tiếp xúc.
- Nếu$d > R$: Mặt phẳng không cắt hình cầu, phần chung rỗng.

Ví dụ cụ thể:
Cho hình cầu$(S)$:$x^2 + y^2 + z^2 = 25$; mặt phẳng$(P)$:$z = 3$.

Ta có:
- Tâm $O(0,0,0)$, bán kính $R = 5$
- Khoảng cách từ $O$ đến$(P)$: $d = |0 + 0 + 1*0 - 3|/1 = 3$
- $d = 3 < 5$, vậy mặt phẳng $(P)$cắt hình cầu.
- Đường tròn giao tuyến có bán kính$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

1. Nếu mặt phẳng đi qua tâm hình cầu ($d = 0$), phần chung là đường tròn lớn nhất của hình cầu (bán kính$R$).
2. Nếu mặt phẳng song song với một mặt phẳng tiếp xúc, phần chung là rỗng.
3. Khi mặt phẳng cắt không qua tâm, bán kính đường tròn giao tuyến nhỏ hơn bán kính hình cầu.
4. Trường hợp mặt phẳng là tiếp tuyến, nhớ xác định đúng tọa độ tiếp điểm thông qua hệ phương trình.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hình tròn giao tuyến là một ứng dụng của phép cắt hai hình trong không gian.
- Khoảng cách là kiến thức cần nắm khi giải các bài toán không gian.
- Liên hệ với bài toán thể tích: Đôi khi, phần chung sẽ dùng để tính diện tích hoặc thể tích phần bị cắt bởi mặt phẳng.
- Cách giải này còn liên quan tới giải phương trình hệ toạ độ, quỹ tích điểm.

Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình cầu$(S): x^2 + y^2 + z^2 = 49$. Mặt phẳng$(P): z = 5$. Phần chung của$(S)$và $(P)$là gì? Nếu là đường tròn, hãy xác định bán kính.

Giải:
- Tâm $O(0,0,0)$, bán kính $R = 7$
- Khoảng cách từ $O$ đến$(P)$: $d = |0 + 0 + 1*0 - 5| = 5$
- Vì $d = 5 < R = 7$, nên phần chung là một đường tròn.
- Bán kính đường tròn: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} \approx 4,9$.

Bài 2: Cho hình cầu$(S): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 4)^2 = 16$, mặt phẳng$(P): x + 2y - 2z + 3 = 0$. Hãy xác định phần chung.

Giải:
- Tâm $O(2, -3, 4)$, bán kính $R = 4$
- Khoảng cách từ $O$ đến$(P)$:
$d = \frac{|2 + 2<em>(-3) - 2</em>4 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 6 - 8 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{3} = 3$
- $d = 3 < R = 4$, nên phần chung là đường tròn.
- Bán kính đường tròn: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65$

Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên kiểm tra so sánh $d$với$R$dẫn đến xác định sai phần chung.
- Nhầm lẫn giữa phương trình mặt phẳng và hình cầu khi xác định tọa độ tâm hoặc bán kính.
- Sai khi áp dụng công thức tính bán kính giao tuyến:$r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (nên nhớ dấu căn bậc hai).

Tóm tắt & Điểm chính cần nhớ

1. Phần chung của một mặt phẳng và hình cầu có thể là rỗng, một điểm hoặc một đường tròn.
2. Khoảng cách từ tâm hình cầu tới mặt phẳng quyết định dạng phần chung:
- $d < R$: Đường tròn
- $d = R$: Một điểm
- $d > R$: Rỗng
3. Bán kính giao tuyến tính bởi $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.
4. Luôn xác định đúng tâm, bán kính hình cầu và khoảng cách đến mặt phẳng.
5. Áp dụng linh hoạt cho các bài toán về giao tuyến, diện tích, thể tích trong không gian.

Việc nắm vững phần này sẽ giúp các em tự tin hơn khi giải các bài toán hình học không gian, đồng thời xây dựng nền tảng cho môn Toán ở cấp học cao hơn.