Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là một phép biến hình quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về đối xứng và nhóm các biến hình trong hình học phẳng.

- Khái niệm: phép quay quanh tâm của đa giác đều sao cho đa giác vẫn trùng với chính nó.

- Tại sao cần hiểu rõ: nắm chắc tính chất đối xứng giúp giải nhanh các bài toán hình học và chứng minh.

- Ứng dụng thực tế: thiết kế hoa văn, đồ họa, kiến trúc, kỹ thuật.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 200+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Cho đa giác đều$A_1A_2\dots A_n$tâm$O$. Phép quay$R_O(\theta)$làm cho mọi điểm$P$trên mặt phẳng thành$P'$sao cho$OP=OP'$và $\angle POP'=\theta$.

Định lý cơ bản: Đa giác đều$n$cạnh chỉ giữ nguyên khi góc quay thỏa mãn

$\theta = k \cdot \frac{360^\circ}{n},\quad k=0,1,\dots,n-1.$

Điều kiện áp dụng: đa giác phải đều, tâm quay là tâm của đa giác.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức góc quay cơ bản:$\theta_k = k \cdot \frac{360^\circ}{n}$với$k \in \{0,1,\dots,n-1\}$.

- Số phép quay giữ nguyên:$n$(bao gồm phép đồng nhất với$k=0$).

- Biến thể: phép quay nghịch đảo (góc âm) cũng thỏa mãn nếu$\theta=-k \cdot \tfrac{360^\circ}{n}$.

- Ghi nhớ nhanh: chia vòng tròn 360° thành$n$phần bằng nhau.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tam giác đều$ABC$tâm$O$. Xác định các phép quay giữ nguyên tam giác.

Lời giải: Tam giác đều có $n=3$, do đó

$\theta = k \cdot \frac{360^\circ}{3} = k \times 120^\circ,\quad k=0,1,2.$

Vậy các góc quay là $0^\circ,120^\circ,240^\circ$.

Lưu ý: phép quay 0° chính là phép đồng nhất, thường ít nhắc đến.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho hình vuông$ABCD$tâm$O$. Hỏi có bao nhiêu phép quay giữ nguyên hình và các góc tương ứng?

Lời giải: Hình vuông có $n=4$, nên

$\theta = k \cdot \frac{360^\circ}{4} = k \times 90^\circ,\quad k=0,1,2,3.$

Như vậy có 4 phép quay với góc$0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$.

Kỹ thuật nhanh: nhận diện$n$và nhân chia 360° là đủ.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu đa giác đều là hình tròn đa giác (giới hạn$n\to\infty$) thì chỉ phép đồng nhất.

- Khi tâm quay không phải tâm đa giác, không tồn tại phép quay giữ nguyên.

- Liên hệ với phép tịnh tiến và đối xứng tâm: hợp thành nhóm đối xứng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm phép quay với phép đối xứng trục hoặc tịnh tiến.

- Hiểu sai tâm quay: phải là tâm đa giác đều.

- Phân biệt rõ góc tối thiểu và góc bội của phép quay.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi chia 360° cho sai$n$dẫn đến góc không nguyên.

- Bỏ sót góc 0° hoặc góc cuối cùng$360^\circ \equiv 0^\circ$.

- Kiểm tra kết quả bằng cách vẽ và đối chiếu vị trí đỉnh.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 200+ bài tập Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập để cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Khái niệm: Phép quay quanh tâm đa giác đều giữ nguyên hình.

- Công thức góc quay:$\theta = k \cdot \frac{360^\circ}{n}$với$k=0,1,\dots,n-1$.

- Số phép quay:$n$.

- Kiểm tra: vẽ nhanh hoặc sử dụng compa và thước.

- Kế hoạch ôn tập: giải đều các ví dụ cơ bản và nâng cao, ghi chép công thức và sai lầm thường gặp.