Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về phép quay giữ nguyên hình đa giác đều và ý nghĩa

Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là một khái niệm quan trọng trong hình học lớp 9, đặc biệt hữu ích khi tìm hiểu về đối xứng, phép biến hình và tính toán diện tích, chu vi các hình đa giác. Hiểu về phép quay giúp học sinh nhận biết được tính chất đặc biệt của các hình đa giác đều khi thực hiện phép quay quanh tâm, đồng thời vận dụng vào các bài tập nhận dạng, chứng minh hình học cũng như chuẩn bị tốt cho các cấp học cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác về phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

Một phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là phép quay quanh tâm của đa giác đều với một góc quay nhất định sao cho sau khi quay, hình vẫn trùng khớp với chính nó. Nói cách khác, tất cả các đỉnh, cạnh của đa giác sau phép quay lại đúng vị trí một cách trùng khít với đa giác ban đầu.

Cho đa giác đều$n$cạnh (n-giác đều), phép quay quanh tâm O của đa giác đi một góc$k \cdot \dfrac{360^\circ}{n}$với$k$là số nguyên từ 1 đến$n-1$sẽ đưa đa giác tới vị trí trùng với chính nó.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử ta xét hình lục giác đều (đa giác đều có 6 cạnh): Hãy vẽ một lục giác đều ABCDEF với tâm O. Nếu ta quay lục giác này quanh tâm O một góc 60°, điểm A sẽ đến vị trí B, B đến C, ... cuối cùng F về vị trí A. Hình lục giác mới, sau phép quay, trùng khít với hình ban đầu.

Với lục giác đều, các góc quay giữ nguyên hình là: 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°. Tổng quát với$n$cạnh, các góc quay giữ nguyên là $k \cdot \dfrac{360^\circ}{n}$($k=1,2,...,n$).

Ví dụ minh họa khác: Với hình vuông ($n=4$), phép quay giữ nguyên hình tương ứng với các góc:$90^\circ$,$180^\circ$,$270^\circ$,$360^\circ$.

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu số cạnh càng lớn, có càng nhiều góc quay giữ nguyên hình.
- Nếu$k=0$, quay góc$0^\circ$thì hình không thay đổi (cũng là một phép quay giữ nguyên hình).
- Nếu không quay quanh tâm của đa giác đều hoặc quay với góc không bằng bội số của$\dfrac{360^\circ}{n}$thì hình sẽ không trở lại trạng thái trùng khớp với vị trí ban đầu.
- Các phép quay này còn gọi là các phép đối xứng quay của đa giác đều.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều liên hệ chặt chẽ với:
- Đối xứng trục: Đa giác đều còn có nhiều trục đối xứng ngoài phép quay.
- Nhóm đối xứng: Trong toán học cao cấp, phép quay giữ nguyên đa giác đều là phần tử của nhóm đối xứng của đa giác đều.
- Phép biến hình: Phép quay là một dạng phép dời hình giữ nguyên kích thước, hình dạng của hình học.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình ngũ giác đều$ABCDE$, tâm$O$. Hãy chỉ ra các góc quay quanh$O$sao cho ngũ giác trở lại trùng khít với vị trí ban đầu.
Giải:
Ngũ giác đều có $n=5$, các góc quay giữ nguyên là $k \cdot \dfrac{360^\circ}{5}$với$k=1,2,3,4,5$.
Cụ thể lần lượt là:$72^\circ$,$144^\circ$,$216^\circ$,$288^\circ$,$360^\circ$.

Bài 2: Một hình bát giác đều quay quanh tâm với góc nhỏ nhất sao cho trở lại trùng với chính nó. Tìm giá trị góc đó.
Giải:
Bát giác đều có $n=8$cạnh. Góc quay nhỏ nhất là $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Bài 3: Vẽ hình tam giác đều$ABC$và xác định số phép quay giữ nguyên hình (không tính phép quay$0^\circ$).
Giải:
Tam giác đều có $n=3$. Các góc quay là:$120^\circ$,$240^\circ$,$360^\circ$. Vậy có 2 phép quay không trùng với phép$0^\circ$(quay$120^\circ$và $240^\circ$).

Bài 4: Một hình lục giác đều có 6 phép quay giữ nguyên. Vậy mỗi phép ứng với góc bao nhiêu?
Giải:
Vì lục giác đều có $n=6$cạnh, các phép quay giữ nguyên là các góc:$60^\circ$,$120^\circ$,$180^\circ$,$240^\circ$,$300^\circ$,$360^\circ$.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa phép quay và phép đối xứng trục: Phép quay quanh tâm, phép đối xứng trục qua đường thẳng.
- Quay quanh điểm không phải là tâm đa giác đều.
- Tính sai góc quay, cần lưu ý $\dfrac{360^\circ}{n}$.
- Quên tính cả phép quay$360^\circ$(trùng với hình ban đầu).
- Không nhận diện đúng vị trí các đỉnh sau khi quay.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là quay quanh tâm với các góc$k \cdot \dfrac{360^\circ}{n}$.
• Số phép quay giữ nguyên hình (tính cả quay$0^\circ$) đúng bằng số cạnh của đa giác đều.
• Luôn phải quay quanh tâm đa giác và chọn đúng góc quay.
• Liên hệ với đối xứng trục và nhóm đối xứng trong toán học.

Hiểu và vận dụng tốt phép quay giữ nguyên hình đa giác đều sẽ giúp các em giải quyết nhiều dạng bài toán hình học liên quan đến đối xứng và biến hình ở lớp 9 cũng như là nền tảng cho các kiến thức cao hơn trong tương lai.