Giải thích chi tiết: Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều (Toán 9)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là một chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học lớp 9. Đây là kiến thức nền tảng giúp các bạn hiểu rõ hơn về tính đối xứng, sự chuyển động không làm thay đổi hình dạng và kích thước các hình cơ bản, từ đó ứng dụng vào cả các bài toán thực tế và các kỳ thi. Nếu nắm vững khái niệm này, bạn sẽ dễ dàng xử lý các bài toán liên quan đến phép biến hình, đặc biệt là nhóm phép quay. Ngoài ra, kiến thức này còn xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như thiết kế, kiến trúc, robot... Trên website, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập thực tiễn, giúp củng cố và mở rộng kiến thức lý thuyết nhanh chóng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để học tốt chủ đề này, bạn cần nắm vững các lý thuyết cơ bản và công thức liên quan đến phép quay, đặc biệt là với hình đa giác đều.

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Phép quay tâm$O$, góc quay$\alpha$là phép biến hình biến mỗi điểm$M$thành điểm$M'$sao cho$OM = OM'$và $\angle MOM' = \alpha$. Khi áp dụng phép quay lên hình đa giác đều$n$cạnh, hình này được giữ nguyên (chồng khít lên chính nó) nếu và chỉ nếu góc quay$\alpha$là bội số của$\dfrac{360^\circ}{n}$.

- Tính chất: Hình đa giác đều có $n$phép quay giữ nguyên hình (trừ phép quay 0 độ), ứng với các góc:$0^\circ; \dfrac{360^\circ}{n}; 2 \times \dfrac{360^\circ}{n};...; (n-1) \times \dfrac{360^\circ}{n}$.

- Điều kiện áp dụng: Chỉ áp dụng với hình đa giác đều (các cạnh và các góc bằng nhau).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức góc quay giữ nguyên hình đa giác đều$n$cạnh:$\boxed{\alpha = k \cdot \dfrac{360^\circ}{n} \quad (k = 0, 1,..., n-1)}$

- Để ghi nhớ: Số phép quay giữ nguyên = số cạnh$n$; mỗi phép quay tạo ra bởi một bội số của góc$\dfrac{360^\circ}{n}$.

- Chỉ dùng công thức khi chắc chắn hình là đa giác đều. Nếu không, phép quay chỉ giữ nguyên khi$\alpha = 0^\circ$(phép đồng nhất).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tìm tất cả phép quay giữ nguyên hình lục giác đều.

Lời giải:

- Hình lục giác đều có $n=6$cạnh.

- Công thức tổng quát:$\alpha = k \cdot 60^\circ$với$k=0,1,2,3,4,5$.

- Như vậy, các góc quay giữ nguyên hình là:$0^\circ,\ 60^\circ,\ 120^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ,\ 300^\circ$.

- Mỗi góc quay ứng với một phép quay quanh tâm của lục giác đều. Khi quay xong, hình hoàn toàn chồng khít với ban đầu.

Lưu ý:

Góc quay$360^\circ$chính là quay về vị trí ban đầu (quay một vòng), nên ta liệt kê $k$từ $0$ đến$n-1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Tìm tất cả phép quay giữ nguyên hình bát giác đều và giải thích cách áp dụng.

Bài giải:

- Hình bát giác đều có $n = 8$cạnh.

- Theo công thức:$\alpha = k \cdot 45^\circ$với$k = 0,1,2,...,7$.

- Các góc quay giữ nguyên hình là:$0^\circ,\ 45^\circ,\ 90^\circ,\ 135^\circ,\ 180^\circ,\ 225^\circ,\ 270^\circ,\ 315^\circ$.

- Khi cần giải quyết nhanh dạng bài này, chỉ cần tính góc quay cơ bản$d = \dfrac{360^\circ}{n}$rồi lấy các số nguyên$k$từ $0$ đến$n-1$.

Bạn có thể áp dụng cách này cho mọi đa giác đều.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đa giác không đều: Chỉ phép quay$0^\circ$(không quay) mới giữ nguyên hình.

- Khi trục quay không phải là tâm: Thường không có phép quay giữ nguyên hình đa giác đều.

- Mối liên hệ với phép vị tự, phép đối xứng tâm: Các phép này cũng giữ nguyên hình đa giác đều nếu đáp ứng điều kiện về vị trí tâm hoặc trục đối xứng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai: Cho rằng mọi phép quay đều giữ nguyên đa giác thường.

- Nhầm lẫn với phép đối xứng, phép tịnh tiến.

- Cách phân biệt: Kiểm tra hình là đa giác đều và góc quay là bội của$\dfrac{360^\circ}{n}$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi xác định số cạnh hoặc nhầm công thức tính góc quay.

- Giải pháp: Luôn tính kỹ góc cơ bản$d = \dfrac{360^\circ}{n}$trước, sau đó liệt kê rõ các góc quay.

- Kiểm tra: Quay thực tế hình hoặc vẽ hình minh hoạ để kiểm tra đáp án.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay bộ sưu tập 42.226+ bài tập Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều miễn phí. Không cần đăng ký, chỉ cần chọn chủ đề và bắt đầu luyện tập! Hệ thống còn cho phép theo dõi tiến độ học tập và tự động gợi ý bài tập phù hợp giúp bạn cải thiện kỹ năng nhanh chóng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hình đa giác đều$n$cạnh có $n$phép quay giữ nguyên hình (kể cả quay$0^\circ$).

- Góc quay giữ nguyên hình:$\alpha = k \cdot \dfrac{360^\circ}{n}$với$k=0,1,...,n-1$.

- Chỉ đa giác đều mới có nhiều phép quay giữ nguyên (các điều kiện khác thích hợp).

- Checklist trước khi làm bài: Kiểm tra số cạnh, xác định góc quay cơ bản, liệt kê các phép quay, nhớ liên hệ kiến thức phép đối xứng nếu cần.

- Đặt kế hoạch ôn tập: mỗi ngày giải ít nhất 3-5 bài trong bộ bài tập miễn phí để củng cố kiến thức.