Phép quay – Khái niệm, tính chất và ứng dụng (Toán lớp 9) [Có ví dụ chi tiết]

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép quay là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt ở chương "Đa giác đều và phép quay". Đây là một phép biến hình giúp giải quyết nhiều bài toán hình học không chỉ trong chương trình phổ thông mà còn có ứng dụng thực tế trong khoa học, thiết kế và cuộc sống hàng ngày.

Việc hiểu rõ khái niệm này giúp các em giải tốt các bài toán về tứ giác nội tiếp, đa giác đều, đối xứng, cũng như rèn luyện tư duy không gian và logic hình học. Ngoài ra, phép quay còn xuất hiện trong việc thiết kế logo, lắp ghép các chi tiết máy, đồ họa máy tính và nhiều lĩnh vực khác.

Hãy bắt đầu học và luyện tập với hơn 42.226 bài tập phép quay miễn phí ngay dưới bài viết này để nắm vững kiến thức và làm bài tập hiệu quả!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa:Phép quay tâm$O$, góc quay$\alpha$là phép biến hình biến mỗi điểm$M$thành điểm$M'$sao cho$OM = OM'$và $\angle MOM' = \alpha$(hướng từ $OM$sang$OM'$là ngược chiều kim đồng hồ nếu$\alpha > 0$).

- Đặc điểm: Phép quay bảo toàn khoảng cách, góc. Tâm O cố định, mọi điểm xung quanh đều quay quanh O.

- Tính chất:
+ Bảo toàn khoảng cách:$OM = OM'$.
+ Bảo toàn góc:$\angle MAN = \angle M'A'N'$(với$A, N$là các điểm cùng quay với M).
+ Biến O thành chính nó:$O' = O$.
+ Nếu$\alpha = 0^0$, phép quay là phép đồng nhất (giữ nguyên mọi điểm).

- Điều kiện áp dụng:Phép quay được xác định bởi tâm O, góc$\alpha$. Được sử dụng khi các yếu tố bài toán xoay quanh một điểm cố định.

2.2 Công thức và quy tắc

+ Tọa độ sau phép quay:Nếu$O(0,0)$, điểm$M(x, y)$quay góc$\alpha$thành$M'(x', y')$:

+ Khi quay quanh$O(a, b)$, dịch hệ tọa độ về $O(0,0)$rồi áp dụng công thức trên.

+ Cách ghi nhớ hiệu quả: Công thức giống công thức cos - sin trong lượng giác. Hãy liên hệ với chuyển động tròn trong hình học.

+ Điều kiện dùng công thức: Phải xác định đúng tâm quay$O$và góc quay$\alpha$(thường lấy$\alpha$dương là ngược chiều kim đồng hồ).

+ Biến thể: Có thể có phép quay$\alpha > 0$,$\alpha < 0$, quay nhiều lần (góc quay là bội của$360^0$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản

Bài toán: Quay điểm$M(1,2)$quanh$O(0,0)$góc$90^0$, ngược chiều kim đồng hồ. Tìm tọa độ $M'$.

Lời giải:

+ Góc quay $\alpha = 90^0 \Rightarrow \cos 90^0 = 0$, $\sin 90^0 = 1$.

+ Áp dụng công thức:

$<br />x' = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2 <br />y' = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1<br /> \Rightarrow M'(-2; 1)<br />$

Lưu ý:Chuẩn bị sẵn bảng giá trị sin - cos các góc cơ bản ($0^0$,$90^0$,$180^0$,$270^0$,$360^0$) để làm nhanh.

3.2. Ví dụ nâng cao

Bài toán: Quay hình vuông$ABCD$có $A(1,2)$,$B(5,2)$,$C(5,6)$,$D(1,6)$quanh$O(3,4)$góc$180^0$. Tìm tọa độ các đỉnh sau khi quay.

Giải:

Quay quanh $O(3,4)$, góc $180^0$ ($\cos 180^0 = -1$, $\sin 180^0 = 0$).

Công thức quay quanh$O(a,b)$mỗi đỉnh$M(x,y)$:

Thực hiện cho$A(1,2)$:

$x' = 3 + (1-3)(-1) - (2-4)0 = 3 + 2 = 5$

$y' = 4 + (1-3)0 + (2-4)(-1) = 4 + 0 + 2 = 6$

$\rightarrow A'(5,6)$

Tương tự với các đỉnh còn lại, các em hãy tự thực hành phép quay.

Mẹo: Với$180^0$, mỗi điểm qua tâm$O$lấy đối xứng qua$O$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Quay góc$0^0$,$360^0$: mọi điểm giữ nguyên (phép đồng nhất).

- Quay góc$180^0$: đồng nghĩa với phép đối xứng tâm qua tâm quay.

- Đa giác đều – phép quay tạo thành hình đồng dạng chính nó.

- Liên hệ phép quay với phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn phép quay với phép đối xứng tâm/trục.

- Không xác định đúng tâm quay hoặc hướng góc quay (dương/âm).

Cách khắc phục: Vẽ hình, xác định rõ tâm và hướng góc.

5.2 Lỗi về tính toán

- Lẫn lộn công thức$x', y'$khi áp dụng sin - cos.

- Nhầm dấu $\sin \alpha$, $\cos \alpha$.

Cách kiểm tra: Thay giá trị vào công thức, tính toán cẩn thận, đối chiếu với hình vẽ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay kho 42.226 bài tập Phép quay miễn phí. Không cần đăng ký, vào học và luyện tập bất cứ lúc nào!

- Hệ thống sẽ tự động ghi lại tiến trình làm bài và giúp em cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Phép quay bảo toàn độ dài và góc, xác định bởi tâm O và góc quay$\alpha$.
• Nhớ công thức tọa độ sau phép quay.
• Luyện tập nhiều dạng bài từ cơ bản tới nâng cao, rà soát lại lỗi tính toán.
• Ôn lại mối liên hệ với phép đối xứng, phép tịnh tiến qua ví dụ thực tiễn.

Checklist ôn tập: Đã hiểu khái niệm? Đã làm ví dụ? Đã luyện tập bài tập Phép quay miễn phí?

Hãy lên kế hoạch học tập đều đặn, kết hợp thực hành và lý thuyết để đạt kết quả tốt nhất.