Phương trình có dạng chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất: Giải thích chi tiết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình có dạng chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất là một trong những dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi và tư duy logic.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này:

- Giúp giải quyết nhanh các bài tập đại số khó hơn sau này.

- Rèn luyện kỹ năng phân tích và xử lý ẩn trong mẫu phân số.

Ứng dụng thực tế:

- Trong tính toán tỉ lệ, chia phần, tỷ lệ nghịch trong vật lý, kinh tế, kỹ thuật.

Cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 20 bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Phương trình có dạng chứa ẩn ở mẫu là phương trình có ẩn xuất hiện trong mẫu phân số, ví dụ:

$\frac{ax + b}{cx + d} = e$

Trong đó $a,b,c,d,e$là các hằng số và $cx+d <br> \neq 0$.

Để giải, ta chuyển về dạng phương trình bậc nhất bằng cách nhân hai vế với mẫu chung (điều kiện mẫu khác 0).

Điều kiện áp dụng: mẫu phân số khác 0, tức là $cx + d <br> \neq 0$.

2.2 Công thức và quy tắc

Các bước giải chung:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):$cx + d <br> \neq 0$.

2. Nhân cả hai vế với$cx + d$ để loại mẫu:$ax + b = e\,(cx + d)$.

3. Triển khai và đưa về phương trình bậc nhất:$ax + b = ecx + ed \ \Rightarrow \ (a - ec)x = ed - b$.

4. Giải$x = \frac{ed - b}{a - ec}$, kiểm tra không làm mẫu = 0.

Mẹo ghi nhớ công thức: gắn nhịp điệu đọc “ĐK mẫu → Nhân cả hai vế → Triển khai → Giải”.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Giải phương trình:

$\frac{3x + 2}{x - 1} = 4$

Bước 1. Điều kiện xác định:$x - 1 <br> \neq 0 \Rightarrow \x <br> \neq 1$.

Bước 2. Nhân cả hai vế với$x - 1$:

$3x + 2 = 4(x - 1)$

Bước 3. Triển khai và thu gọn:

$3x + 2 = 4x - 4 \Rightarrow \ 2 + 4 = 4x - 3x\ \Rightarrow \x = 6$

Bước 4. Kiểm tra:$x = 6$thỏa ĐK$6 <br> \neq 1$. Vậy nghiệm:$x = 6$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Giải phương trình:

$\frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{x + 5}{2}$

Bước 1. ĐKXĐ:$x + 3 <br> \neq 0 \Rightarrow \x <br> \neq -3$.

Bước 2. Nhân hai vế với$2(x + 3)$:

$2(2x - 1) = (x + 5)(x + 3)$

Bước 3. Triển khai:

$4x - 2 = x^2 + 8x + 15$

Chuyển vế:$0 = x^2 + 8x + 15 - 4x + 2 = x^2 + 4x + 17$

Vì $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 16 - 68 < 0$, phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Không có nghiệm thực thỏa ĐK.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Mẫu phân số bằng 0 làm phương trình vô nghĩa.

- Sau khi nhân và rút gọn, hệ số $x$có thể bằng 0:

+ Nếu hằng số cũng = 0 → vô số nghiệm (chú ý ĐKXĐ).

+ Nếu hằng số
eq 0 → vô nghiệm.

Mối liên hệ: liên quan đến phương trình bậc nhất, phân thức đại số.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai ĐKXĐ, quên loại nghiệm làm mẫu = 0.

- Nhầm lẫn với phương trình bậc hai sau khi nhân mẫu.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi nhân hoặc triển khai biểu thức.

- Quên kiểm tra nghiệm thỏa ĐKXĐ.

Phương pháp kiểm tra: thay nghiệm vào biểu thức gốc, xem mẫu
eq 0 và hai vế bằng nhau.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hơn 20 bài tập Phương trình có dạng chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Xác định ĐKXĐ mẫu phân số khác 0.

- Nhân cả hai vế với mẫu chung, triển khai, thu gọn về phương trình bậc nhất.

- Giải phương trình, kiểm tra nghiệm thỏa ĐKXĐ.

Checklist trước khi làm bài: ĐKXĐ → Nhân → Triển khai → Giải → Kiểm tra.