Phương trình có dạng chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất – Lý thuyết và hướng dẫn chi tiết cho lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Đây là một trong những kiến thức nền tảng giúp các em học sinh làm quen với phương pháp biến đổi phương trình tổng quát thành phương trình bậc nhất, đồng thời nâng cao khả năng giải toán tổng hợp và tiếp cận các chủ đề phức tạp hơn ở bậc học cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất là phương trình mà biểu thức chứa ẩn xuất hiện ở mẫu số, nhưng có thể biến đổi về dạng phương trình bậc nhất một ẩn thông qua quy tắc đồng nhất. Dạng tổng quát thường gặp là:

$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$
Trong đó,$A(x), B(x), C(x), D(x)$là các biểu thức đa thức bậc nhất hoặc hằng số;$B(x)$và $D(x)$ đều khác$0$với$x$thỏa mãn điều kiện xác định.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình, tức là tìm$x$ để các mẫu số khác$0$.
• Bước 2: Quy đồng mẫu số hai vế (nếu cần), sau đó khử mẫu để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn.
• Bước 3: Giải phương trình bậc nhất vừa thu được.
• Bước 4: Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ, chọn nghiệm phù hợp.

Ví dụ minh họa

Giải phương trình:$\frac{2x + 1}{x - 3} = 5$

Bước 1: ĐKXĐ:$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Bước 2: Khử mẫu:
$(2x + 1) = 5(x - 3)$

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất:
$2x + 1 = 5x - 15 \Rightarrow 2x + 1 - 5x + 15 = 0 \Rightarrow -3x + 16 = 0 \Rightarrow x = \frac{16}{3}$

Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ:$x = \frac{16}{3} \neq 3$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{16}{3}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số lưu ý quan trọng:

• Luôn xác định điều kiện xác định để tránh xuất hiện nghiệm ngoại lai (nghiệm làm mẫu số bằng 0).
• Sau khi khử mẫu và giải xong, LUÔN kiểm tra lại nghiệm với ĐKXĐ.
• Nếu hai vế là phân thức thì quy đồng chung mẫu hai vế trước khi khử mẫu.
• Có trường hợp phương trình vô nghiệm nếu tất cả nghiệm tìm được đều không thỏa mãn ĐKXĐ.

y=\frac{2x+1}{x-3} và đường thẳng $y=5$ , thể hiện tiệm cận đứng $x=3$ và giao điểm tại $(\tfrac{16}{3},5)$ " title="Hình minh họa: Đồ thị hàm số y=\frac{2x+1}{x-3} và đường thẳng $y=5$ , thể hiện tiệm cận đứng $x=3$ và giao điểm tại $(\tfrac{16}{3},5)$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Chủ đề này không chỉ ứng dụng các kiến thức về phân thức mà còn liên kết chặt chẽ với:
- Giải phương trình bậc nhất một ẩn
- Quy đồng mẫu trong đại số
- Rèn luyện kỹ năng giải phương trình chứa dấu ngoặc, chứa ẩn ở nhiều vị trí
- Là bước đệm để học giải phương trình phức tạp hơn như phương trình bậc hai, phương trình chứa căn bậc hai.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình:
$\frac{3x - 2}{x + 4} = 2$

Lời giải:

Bước 1: ĐKXĐ:$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$
Bước 2: Khử mẫu:
$3x - 2 = 2(x + 4) \Leftrightarrow 3x - 2 = 2x + 8$
$3x - 2x = 8 + 2 \Leftrightarrow x = 10$
Bước 3:$x=10$thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm là $x = 10$.

Bài 2: Giải phương trình:
$\frac{x + 1}{2x - 3} = \frac{5}{x + 2}$

Lời giải:

Bước 1: ĐKXĐ:$2x - 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{3}{2}; x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2$
Bước 2: Quy đồng mẫu và khử mẫu:
$(x + 1)(x + 2) = 5(2x - 3)$
Mở ngoặc:
$x^2 + 3x + 2 = 10x - 15$
Đưa tất cả về một vế:
$x^2 + 3x + 2 - 10x + 15 = 0$
$x^2 - 7x + 17 = 0$
Phương trình này vô nghiệm vì:
$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 17 = 49 - 68 = -19 < 0$
Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình:
$\frac{2x + 5}{x - 1} = x$

Lời giải:
Bước 1: ĐKXĐ: $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$
Bước 2: Khử mẫu:
$2x + 5 = x(x - 1)\Leftrightarrow 2x + 5 = x^2 - x <br />Đưa về dạng phương trình bậc hai (trường hợp đặc biệt):<br />$x^2 - 3x - 5 = 0$<br />Giải: \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29 > 0$
Vậy phương trình có hai nghiệm:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2},\ x_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}$
Kiểm tra ĐKXĐ: Chỉ nhận nghiệm $x \neq 1$.
Cả hai nghiệm đều khác $1$. Nghiệm của phương trình là $x_1, x_2$ như trên.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện xác định, dẫn tới nhận nghiệm ngoại lai (làm mẫu bằng 0).
• Khi khử mẫu quên nhân cả hai vế với mẫu chung.
• Giải phương trình chưa quy đồng mẫu đúng cách, dẫn tới sai đáp số.
• Bỏ qua kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Phương trình chứa ẩn ở mẫu phải xác định điều kiện xác định để tránh nhận các nghiệm không hợp lệ.
• Bước giải căn bản: Tìm ĐKXĐ, quy đồng và khử mẫu, giải phương trình, so với ĐKXĐ.
• Phải kiểm tra nghiệm cuối cùng với ĐKXĐ.
• Chú ý cẩn thận khi chuyển vế, rút gọn và quy đồng mẫu.

Chúc các em học tốt và tự tin giải thành thạo các bài toán về phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất!