Số đo góc ở tâm bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học

Trong chương trình Toán học lớp 9, hình học và đặc biệt là kiến thức về đường tròn chiếm vị trí rất quan trọng. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa các góc trong đường tròn giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán phức tạp. Một trong những tính chất cơ bản nhưng cực kỳ hữu ích là: "Số đo góc ở tâm bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung". Kiến thức này không chỉ giúp học sinh làm tốt các bài kiểm tra, kỳ thi mà còn xây nền tảng vững chắc để học các chương tiếp theo, kể cả khi lên lớp cao hơn hay tham gia các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Định nghĩa: Trong một đường tròn, số đo của góc ở tâm chắn một cung bằng hai lần số đo của góc nội tiếp cùng chắn cung đó (hay cùng nhìn cung đó).

Cụ thể, cho đường tròn$(O)$, vẽ hai điểm$A, B$bất kỳ trên đường tròn khác nhau. Chọn$M$cũng nằm trên đường tròn,$M$khác$A$và $B$. Khi đó,$\widehat{AOB}$là góc ở tâm chắn cung$AB$, còn$\widehat{AMB}$là góc nội tiếp chắn cùng cung$AB$. Khi đó:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xem một ví dụ minh họa cụ thể:

Cho đường tròn$(O)$, vẽ các điểm$A$,$B$,$M$trên đường tròn sao cho$A$,$B$khác nhau và $M$khác$A, B$.

Gọi$\widehat{AOB}$là góc ở tâm,$\widehat{AMB}$là góc nội tiếp cùng chắn cung$AB$.

Giả sử $\widehat{AMB} = 40^\circ$, theo tính chất đã học, ta sẽ có:

Bạn có thể kiểm chứng điều này bằng dụng cụ đo góc trên hình vẽ.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu điểm$M$nằm trên cung lớn$AB$thì góc$\widehat{AMB}$vẫn chắn cung$AB$, nhưng góc này nhỏ hơn$180^\circ$.
• Nếu$\widehat{AMB}$là góc nội tiếp chắn cung lớn$AB$thì $\widehat{AOB} = 360^\circ - 2\widehat{AMB}$.
• Nếu$A$,$B$,$M$thẳng hàng (tức$M$trùng$A$hoặc$B$) thì $\widehat{AMB} = 0^\circ$.
• Nếu$M$trùng với trung điểm của cung nhỏ $AB$thì $\widehat{AMB}$lớn nhất.

Lưu ý: Trong mỗi bài toán, cần xác định rõ cung$AB$mà hai góc đang chắn để tránh nhầm lẫn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kiến thức này liên quan mật thiết với tổng các góc trong tam giác, tính chất hình lục giác nội tiếp, định lí góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, và mở rộng ra nhiều bài toán hình học phẳng ở các bậc học cao.

• Liên hệ tam giác nội tiếp đường tròn: Góc ngoài tam giác bằng tổng hai góc đối diện bên trong.
• Liên hệ với góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cùng cung.
• Các bài toán chứng minh đồng quy, song song, vuông góc dựa trên hệ quả của tính chất này.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập cơ bản để học sinh luyện tập:

Bài 1: Cho đường tròn$(O)$, hai điểm$A, B$và điểm$M$nằm trên đường tròn sao cho$M$khác$A, B$. Biết$\widehat{AOB} = 100^\circ$. Hỏi$\widehat{AMB}$bằng bao nhiêu độ?

Giải:

$\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}$

Suy ra:

$\widehat{AMB} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$

$\widehat{AMB}$ (tại điểm M, màu cam) và $\widehat{ANB}$ (tại điểm N, màu xanh lá) cùng chắn cung $AB$ (màu đỏ) trên đường tròn đơn vị; các điểm A, B, M, N được đánh dấu rõ r" title="Hình minh họa: Minh họa hai góc nội tiếp $\widehat{AMB}$ (tại điểm M, màu cam) và $\widehat{ANB}$ (tại điểm N, màu xanh lá) cùng chắn cung $AB$ (màu đỏ) trên đường tròn đơn vị; các điểm A, B, M, N được đánh dấu rõ r" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$(O)$ với ba điểm $A,B,M$ trên biên. Góc ở tâm $\widehat{AOB}$ (màu cam) và góc nội tiếp $\widehat{AMB}$ (màu lục) cùng chắn cung $AB$ " title="Hình minh họa: Hình minh họa đường tròn $(O)$ với ba điểm $A,B,M$ trên biên. Góc ở tâm $\widehat{AOB}$ (màu cam) và góc nội tiếp $\widehat{AMB}$ (màu lục) cùng chắn cung $AB$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Bài 2: Trên đường tròn$(O)$, biết$\widehat{AMB} = 25^\circ$. Tính số đo góc ở tâm$\widehat{AOB}$chắn cùng cung.

Giải:

$\widehat{AOB} = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$

Bài 3: Cho hai góc nội tiếp$\widehat{AMB}$và $\widehat{ANB}$cùng chắn cung$AB$trên đường tròn. Chứng minh:$\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$.

Giải:

Theo tính chất, số đo góc ở tâm chắn cùng cung$AB$là $\widehat{AOB}$và ta có:

$\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB} = 2\widehat{ANB}$

Do đó $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa góc chắn cung nhỏ và cung lớn: Hãy xác định chính xác cung mà hai góc cùng chắn.
• Nhập nhằng vị trí các điểm: Vẽ hình chính xác và đọc kỹ vị trí điểm để xác định đúng loại góc.
• Áp dụng sai công thức cho góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung: Xác định kỹ xem đó là góc ở tâm hay nội tiếp.

Để tránh những lỗi trên, hãy luôn vẽ hình, ghi rõ các cung, kiểm tra lại mỗi bước giải.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Trong đường tròn, số đo góc ở tâm chắn một cung bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

- Công thức:$\widehat{AOB} = 2\widehat{AMB}$.

- Xác định đúng cung bị chắn là yếu tố then chốt khi áp dụng công thức.

- Kiến thức này là nền tảng quan trọng trong các bài toán hình học đường tròn.

Hi vọng qua bài viết này, các em học sinh lớp 9 đã nắm vững tính chất và có thể vận dụng linh hoạt vào bài tập. Đừng quên luyện tập nhiều dạng bài khác nhau để thành thạo kiến thức này nhé!