Số đo góc ở tâm – Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu: Số đo góc ở tâm là gì?

Trong hình học lớp 9, "số đo góc ở tâm" là một khái niệm then chốt giúp học sinh hiểu rõ về các dạng góc liên quan đến đường tròn. Việc nắm vững kiến thức này là tiền đề cho các kiến thức nâng cao hơn như góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, và các bài toán liên hệ đến độ dài cung tròn hoặc diện tích hình quạt. Đặc biệt, đây là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các dạng bài tập và đề thi quan trọng.

2. Định nghĩa số đo góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh nằm tại tâm$O$của một đường tròn và hai cạnh là hai bán kính đi qua hai điểm$A$,$B$trên đường tròn, ký hiệu là $\angle AOB$. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn (tức là cung$AB$).

Nói cách khác, nếu đo cung$AB$bằng$x$độ thì$\angle AOB = x^\circ$. Tổng số đo các góc ở tâm ứng với toàn bộ đường tròn là $360^\circ$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm$O$, hai điểm$A, B$nằm trên đường tròn. Gọi$\angle AOB$là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$có số đo$60^\circ$. Ta nói số đo góc ở tâm$\angle AOB$là $60^\circ$.

- Bước 1: Xác định tâm$O$của đường tròn.

- Bước 2: Nối các bán kính$OA$,$OB$ để tạo thành góc$\angle AOB$.

- Bước 3: Số đo cung nhỏ $AB$chính là số đo góc$\angle AOB = 60^\circ$.

Tương tự, nếu$AB$là cung lớn (lớn hơn 180°), số đo góc$\angle AOB$có thể là $360^\circ - x$với$x$là số đo cung nhỏ.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$AB$là hai điểm trùng nhau ($A \equiv B$), số đo góc ở tâm là $0^\circ$.
- Nếu$A$và $B$nằm đối diện nhau trên đường tròn (tức là cung lớn và cung nhỏ đều$180^\circ$), số đo góc ở tâm là $180^\circ$.
- Mỗi góc ở tâm cùng với góc ở tâm đối (cùng chắn một đoạn đường tròn nhưng theo chiều ngược lại) luôn có tổng số đo là $360^\circ$.
- Nếu cùng một cung$AB$nhưng lấy hai hướng khác nhau thì số đo góc ở tâm là $x^\circ$hoặc$360^\circ - x^\circ$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Góc ở tâm liên hệ trực tiếp với góc nội tiếp, theo định lý: Số đo góc nội tiếp chắn cùng cung bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cung đó, tức là $\text{số đo góc nội tiếp} = \dfrac{1}{2} \text{số đo góc ở tâm}$ .
- Số đo góc ở tâm còn liên quan đến việc tính độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn khi dùng các công thức:

,(với $x$ là số đo góc ở tâm, $r$ là bán kính).
- Khi giải các bài toán góc, việc xác định đúng số đo góc ở tâm là cực kỳ quan trọng và là nền tảng để chứng minh quan hệ góc và cung trong hình học.

6. Các bài tập mẫu về góc ở tâm (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Cho đường tròn tâm$O$, hai điểm$A, B$trên đường tròn sao cho cung nhỏ $AB$có số đo$120^\circ$. Tính số đo góc ở tâm$\angle AOB$.

Giải: Vì số đo cung nhỏ $AB = 120^\circ$, nên số đo góc ở tâm$\angle AOB = 120^\circ$.

Bài 2: Cho cung nhỏ $AB$của đường tròn tâm$O$bằng$80^\circ$. Góc nội tiếp$\angle AMB$chắn cung$AB$có số đo là bao nhiêu?

Giải: Theo định lý, số đo góc nội tiếp$= \dfrac{1}{2} \times$số đo góc ở tâm chắn cung đó $= \dfrac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$.

Bài 3: Một cung tròn có số đo$135^\circ$, bán kính$r = 5$cm. Tính độ dài cung tròn đó.

Giải: Ta áp dụng công thức:$L = 2\pi r \cdot \frac{x}{360} = 2\pi \cdot 5 \cdot \frac{135}{360} = 10\pi \cdot \frac{3}{8} = \frac{30\pi}{8} = \frac{15\pi}{4} \approx 11,78 \text{(cm)}.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Đặt nhầm vị trí đỉnh góc: Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa góc có đỉnh ở tâm và góc nội tiếp (đỉnh ở trên đường tròn). Cần chú ý đỉnh góc ở tâm phải là tâm đường tròn.
- Nhầm lẫn giữa cung nhỏ và cung lớn: Hãy xác định rõ bạn đang nói đến cung nào để biết được số đo góc ở tâm chính xác.
- Nhập sai công thức liên kết: Khi tính các đại lượng như độ dài cung, diện tích hình quạt tròn, phải dùng đúng số đo góc ở tâm (đơn vị độ) và đúng công thức.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Số đo góc ở tâm là số đo góc có đỉnh tại tâm đường tròn, hai cạnh là bán kính.
- Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn, tổng số đo các góc ở tâm là $360^\circ$.
- Góc ở tâm là cơ sở liên kết các khái niệm: góc nội tiếp, độ dài cung, diện tích hình quạt tròn…
- Đừng nhầm lẫn góc ở tâm với góc nội tiếp hoặc các loại góc khác trên đường tròn.

Nắm vững số đo góc ở tâm không chỉ giúp các em giải bài tập hình học lớp 9 dễ dàng mà còn chuẩn bị tốt cho các kiến thức hình học nâng cao sau này. Hãy luyện tập nhiều dạng bài để hiểu sâu sắc bản chất của góc ở tâm!