1. Giới thiệu và tầm quan trọng

- Khái niệm Tâm trong chương trình Toán lớp 9 đề cập đến điểm cố định nằm ở trung tâm đường tròn, kí hiệu thường là O.

- Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: xác định được tâm giúp giải quyết các bài toán về bán kính, dây cung, cung tròn, góc ở tâm, quỹ tích và nhiều ứng dụng hình học khác.

- Ứng dụng thực tế: trong kỹ thuật chế tạo bánh răng, xác định tâm của mặt tròn, trong bản đồ học, đồ họa máy tính và trong tính toán quỹ đạo vệ tinh.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Tâm O của đường tròn là điểm cách đều mọi điểm trên đường tròn một khoảng bằng bán kính r.

Định lý và tính chất chính:

- Đường kính đi qua tâm, chiều dài bằng$2r$.

- Mọi dây cung có trung điểm thuộc đường kính vuông góc với dây sẽ đi qua tâm.

- Góc ở tâm gấp đôi góc ở ngoại tiếp cùng chắn cung.

Điều kiện áp dụng và giới hạn: lý thuyết chỉ đúng trong hình học Euclid phẳng.

2.2 Công thức và quy tắc

1) Phương trình dạng chuẩn của đường tròn tâm$(a,b)$bán kính$r$:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

2) Phương trình tổng quát:

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0,$

tâm $O(-g,-f)$, bán kính $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}.$

3) Công thức khoảng cách hai điểm trong mặt phẳng:

$d\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$

Cách ghi nhớ công thức hiệu quả: liên tưởng$(x - a)$và $(y - b)$là tọa độ mới khi dời tâm về gốc.

Điều kiện sử dụng từng công thức: chọn dạng chuẩn khi biết tâm, chọn dạng tổng quát khi cho phương trình đầy đủ.

Các biến thể của công thức: đường tròn có tâm trên trục Ox hoặc Oy (b. ví dụ $a=0$hay$b=0$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25.$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng dạng chuẩn$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$với$a=3$,$b=-2$,$r^2=25$.

Bước 2: Tâm$O(3,-2)$, bán kính$r=5$.

Lưu ý: kiểm tra số mũ và dấu trước$a,b$ để xác định chính xác tọa độ tâm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm$A(1,2)$,$B(4,6)$,$C(5,1)$.

Phương pháp: thiết lập hệ với dạng tổng quát$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$và thay tọa độ A, B, C để tìm$g,f,c$.

Kỹ thuật giải nhanh: trừ hai phương trình để loại$c$, giải hệ hai ẩn$g,f$, rồi tính$c$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường tròn suy biến khi$r=0$: chỉ còn một điểm (tâm).

- Khi tổng quát$g^2+f^2-c<0$: vô nghiệm, không có đường tròn thực.

- Liên hệ với khái niệm dây cung, cung tròn và góc ở tâm.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm tâm với trọng tâm (centroid) của tam giác.

- Hiểu sai dấu của$a,b$trong$(x - a)^2+(y - b)^2$.

Cách tránh: vẽ hình minh họa, ghi chú dấu trừ rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi hoàn thiện bình phương, quên thêm hằng số.

- Nhầm lẫn khi tính$igl(g^2+f^2-cigr)$dẫn đến$r^2$ âm.

Phương pháp kiểm tra: thay một điểm bất kỳ trên đường tròn vào phương trình.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 100+ bài tập Tâm miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng với hệ thống tự động chấm điểm.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính cần nhớ về Tâm:

- Định nghĩa tâm O và bán kính r.

- Phương trình chuẩn và tổng quát của đường tròn.

- Cách xác định tâm từ phương trình và kiểm tra kết quả.

Checklist trước khi làm bài:

- Kiểm tra dạng phương trình.

- Xác định$a,b$hoặc$g,f,c$ đúng.

- Đảm bảo$r^2\ge 0$.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: ôn lý thuyết, làm ví dụ cơ bản – nâng cao, tổng hợp lỗi thường gặp và luyện đề theo thời gian định sẵn.