1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm Tan (ký hiệu là tan) xuất hiện trong chương trình Toán lớp 9 và là một trong ba tỉ số lượng giác cơ bản. Việc hiểu rõ tan giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán hình học và ứng dụng trong thực tế như đo độ dốc, thiết kế kiến trúc và kỹ thuật.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập Tan.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Trong tam giác vuông: \tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} .

- Trên đường tròn đơn vị: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$(với$\cos \alpha \neq 0$).

- Tính chất cơ bản: chu kỳ $\pi$, lẻ (odd) với $\tan(-\alpha)=-\tan \alpha$, và xác định trên miền $\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}$.

2.2 Công thức và quy tắc

-$\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}$(với$\alpha,\beta<br> \neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi$,$1-\tan \alpha\tan \beta \neq 0$).

-$\tan(\alpha-\beta)=\displaystyle\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}$.

-$\tan(2\alpha)=\displaystyle\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}$(với$\tan^2\alpha<br>eq1$).

Cách ghi nhớ: liên tưởng các công thức cộng, trừ tan giống như phép cộng phân số.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ 1: Tính$\tan45^{\circ}$.

Giải: Bởi vì $\sin45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$và $\cos45^{\circ}=\tfrac{\sqrt2}{2}$ nên

$\tan45^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{\cos45^{\circ}}=1.$

Lưu ý: $\tan30^{\circ}=\tfrac{1}{\sqrt3}$, $\tan60^{\circ}=\sqrt3$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ 2: Tính$\tan75^{\circ}$bằng công thức cộng.

Ta có $75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}$nên sử dụng

$\tan75^{\circ}=\frac{\tan45^{\circ}+\tan30^{\circ}}{1-\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}=\frac{1+\tfrac{1}{\sqrt3}}{1-1 \cdot \tfrac{1}{\sqrt3}}=2+\sqrt3.$

Kỹ thuật: rút gọn và hợp lý hóa mẫu để có kết quả dạng $2+\sqrt3$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Góc vuông ($\alpha=90^{\circ}$) không xác định tan vì $\cos90^{\circ}=0$.

- Quan hệ với cotan:$\cot \alpha=\tfrac{1}{\tan \alpha}$.

- Tính tuần hoàn:$\tan(\alpha+\pi)=\tan \alpha$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa tan, sin, cos và cạnh huyền.

- Quên điều kiện$\cos \alpha \neq 0$dẫn đến giá trị không xác định.

- Cách tránh: luôn vẽ tam giác vuông và nhắc lại định nghĩa.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi áp dụng công thức cộng, trừ, nhân đôi.

- Nhầm dấu khi cộng hoặc nhân số âm.

- Kiểm tra lại bằng công thức $1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Tan miễn phí - Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng lượng giác.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa: $\tan \alpha=\tfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$và $\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

- Công thức cơ bản: cộng, trừ, nhân đôi tan.

- Điều kiện:$\cos \alpha \neq 0$.

- Ứng dụng: giải tam giác, tính góc, độ dốc.

Checklist:

1. Nắm vững định nghĩa và công thức.

2. Luyện tập các ví dụ.

3. Kiểm tra sai sót bằng công thức liên quan.

4. Theo dõi tiến độ với bài tập miễn phí.