Tần số tương đối – Khái niệm, ý nghĩa và hướng dẫn giải toán lớp 9

Giới thiệu chung về tần số tương đối và vai trò trong Toán học lớp 9

Trong chương trình Toán lớp 9, học sinh được làm quen với các khái niệm thống kê như: số trung bình, số trung vị, tần số, tần số tương đối,... Trong đó, tần số tương đối là một khái niệm rất quan trọng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tỉ lệ xuất hiện của một giá trị trong một dãy số liệu, đồng thời có nhiều ứng dụng thực tế trong phân tích dữ liệu, điều tra xã hội, kinh tế, v.v.

Định nghĩa tần số tương đối

Tần số tương đối của một giá trị là tỉ số giữa số lần xuất hiện của giá trị đó (tần số) và tổng số các giá trị trong mẫu. Ta ký hiệu:

Nếu giá trị $x_i$xuất hiện$n_i$lần trong tổng số $N$lần thì tần số tương đối của$x_i$là:

$f_i = \frac{n_i}{N}$

Trong đó:

• $n_i$: Tần số của giá trị $x_i$(số lần xuất hiện của$x_i$)
• $N$: Tổng số giá trị được khảo sát
• $f_i$: Tần số tương đối của giá trị $x_i$

Giải thích và ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Trong một lớp học có 40 học sinh, khảo sát điểm kiểm tra môn Toán. Số học sinh đạt điểm 8 là 12 bạn. Hỏi tần số và tần số tương đối của điểm 8 là bao nhiêu?

• Tần số:$n_{8} = 12$(có 12 bạn đạt điểm 8)
• Tổng số học sinh:$N = 40$

Tần số tương đối của điểm 8:

$f_8 = \frac{12}{40} = 0,3$

Kết luận: Tần số tương đối của điểm 8 là $0,3$(hay 30%). Điều này có nghĩa là cứ 100 học sinh thì có khoảng 30 bạn đạt điểm 8.

Ví dụ 2: Điền và hoàn thiện bảng tần số tương đối

Bảng số liệu điểm kiểm tra của 20 học sinh như sau:

Điểm: 6 7 8 9

Tần số: 3 7 5 5

Tính tần số tương đối cho từng giá trị và điền vào bảng.

- Tổng số học sinh:$N = 3 + 7 + 5 + 5 = 20$

- Tần số tương đối điểm 6:$f_6 = \frac{3}{20} = 0,15$

- Tần số tương đối điểm 7:$f_7 = \frac{7}{20} = 0,35$

- Tần số tương đối điểm 8:$f_8 = \frac{5}{20} = 0,25$

- Tần số tương đối điểm 9:$f_9 = \frac{5}{20} = 0,25$

Bảng hoàn chỉnh:

| Điểm | Tần số ($n_i$) | Tần số tương đối ($f_i$) |
|---|---|---|
| 6 | 3 | 0,15 |
| 7 | 7 | 0,35 |
| 8 | 5 | 0,25 |
| 9 | 5 | 0,25 |

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng tần số tương đối

- Tổng tần số tương đối của các giá trị luôn bằng 1 (hay 100%).

- Khi số liệu ít, tần số tương đối có thể thay đổi lớn nếu một giá trị xuất hiện nhiều hơn.

- Tần số tương đối luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tần số tương đối là nền tảng để xây dựng biểu đồ tần số tương đối, biểu đồ cột, biểu đồ tròn.

- Là khái niệm cơ bản để học xác suất và các phần nâng cao về thống kê sau này.

- Tần số tương đối có liên kết chặt với xác suất, bởi xác suất của một biến cố cũng được tính bằng tần số xuất hiện của biến cố đó chia cho tổng số phép thử.

Bài tập mẫu có lời giải

- Bài tập 1: Cho bảng sau về điểm kiểm tra môn Sinh học của 25 học sinh:

| Điểm | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|------|---|---|---|---|---|
| Số HS| 1 | 6 | 8 | 5 | 5 |

a) Tính tần số tương đối của mỗi giá trị điểm.

b) Kiểm tra tổng các tần số tương đối.

Lời giải:

a) Tổng số học sinh:$N = 1 + 6 + 8 + 5 + 5 = 25$

- Tần số tương đối điểm 4:$f_4 = \frac{1}{25} = 0,04$
- Tần số tương đối điểm 5:$f_5 = \frac{6}{25} = 0,24$
- Tần số tương đối điểm 6:$f_6 = \frac{8}{25} = 0,32$
- Tần số tương đối điểm 7:$f_7 = \frac{5}{25} = 0,2$
- Tần số tương đối điểm 8:$f_8 = \frac{5}{25} = 0,2$

b) Tổng các tần số tương đối:$0,04 + 0,24 + 0,32 + 0,2 + 0,2 = 1$

Kết luận: Tổng tần số tương đối bằng 1 chứng tỏ bạn đã tính toán đúng.

- Bài tập 2: Một cuộc khảo sát cho biết số học sinh yêu thích các môn thể thao như sau:

| Môn | Bóng đá | Cầu lông | Bóng rổ | Bơi lội |
|-----|---------|----------|---------|--------|
| Số HS| 15 | 10 | 8 | 7 |

a) Tính tần số tương đối từng môn.

b) Biểu diễn bằng biểu đồ cột tần số tương đối (học sinh tự thực hiện).

Lời giải:

Tổng số học sinh:$N = 15 + 10 + 8 + 7 = 40$

- Bóng đá:$f_{bd} = \frac{15}{40} = 0,375$
- Cầu lông:$f_{cl} = \frac{10}{40} = 0,25$
- Bóng rổ:$f_{br} = \frac{8}{40} = 0,2$
- Bơi lội:$f_{bl} = \frac{7}{40} = 0,175$

Các lỗi thường gặp khi tính tần số tương đối

• Quên chia cho tổng số phần tử $N$(chỉ ghi tần số là kết quả)
• Tính sai tổng$N$
• Nhập nhầm tần số các giá trị
• Không làm tròn hợp lý (thường lấy đến 2 chữ số thập phân)

Cách tránh:

• Kiểm tra lại tổng số liệu, tổng các tần số và tổng các tần số tương đối phải bằng 1.
• Ghi nhớ công thức:$f_i = \frac{n_i}{N}$

Tóm tắt, ghi nhớ về tần số tương đối

• Tần số tương đối là tỉ số giữa số lần xuất hiện giá trị đó và tổng số phần tử.
• Tổng các tần số tương đối luôn bằng 1 (hay 100%).
• Tần số tương đối là cơ sở cho các biểu đồ và ứng dụng xác suất.
• Cách tính:$f_i = \frac{n_i}{N}$.

Nắm vững tần số tương đối giúp các em học sinh không chỉ học tốt môn Toán mà còn có khả năng phân tích dữ liệu trong thực tế hiệu quả hơn.