Giải thích chi tiết: Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm (Toán 9)

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng trong chương trình toán học

Trong chương trình Toán 9, thống kê là mảng kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu và xử lý các số liệu thực tế. "Thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm" là một trong những nội dung nền tảng, được sử dụng rộng rãi để tổ chức, trình bày và phân tích các số liệu có nhiều giá trị khác nhau (số liệu ghép nhóm). Kỹ năng này giúp học sinh nhận biết xu hướng phân bố, đưa ra nhận xét và ứng dụng giải quyết các bài toán thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác về bảng tần số tương đối ghép nhóm

Bảng tần số tương đối ghép nhóm là bảng thống kê trình bày số liệu ở dạng các lớp (nhóm giá trị), trong đó mỗi lớp được liệt kê kèm theo tần số (số lần xuất hiện) và tần số tương đối (tỷ lệ phần trăm hoặc số thực so với tổng các giá trị) của lớp đó. Tần số tương đối cho biết mức độ xuất hiện của mỗi nhóm so với toàn bộ dữ liệu.

Công thức tính tần số tương đối của lớp$i$:

$f_i = \frac{n_i}{N}$

Trong đó:

-$n_i$: Tần số của lớp$i$(số phần tử trong lớp$i$)
-$N$: Tổng số phần tử của toàn bộ dãy số liệu
-$f_i$: Tần số tương đối của lớp$i$

3. Cách thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm - Các bước cụ thể với ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước cơ bản để thiết lập bảng tần số tương đối ghép nhóm:

Bước 1: Thu thập, sắp xếp và xác định số lượng dữ liệu ($N$)
Bước 2: Xác định số nhóm (lớp), độ rộng mỗi nhóm
Bước 3: Xác định các khoảng (lớp) cụ thể
Bước 4: Đếm tần số ($n_i$) cho từng nhóm
Bước 5: Tính tần số tương đối ($f_i = \frac{n_i}{N}$)
Bước 6: Lập bảng tần số tuyệt đối và tần số tương đối

Ví dụ minh họa:

Giả sử điểm kiểm tra Toán của 30 học sinh trong lớp là:
4, 6, 8, 7, 7, 5, 6, 9, 8, 6, 7, 8, 5, 6, 5, 7, 5, 4, 6, 7, 8, 7, 7, 6, 5, 8, 9, 6, 8, 5.

- Chọn số nhóm: 3 chủ đề (từ nhỏ đến lớn): 4 - 5, 6 - 7, 8 - 9. Mỗi nhóm độ rộng 2 điểm.

- Đếm số lượng mỗi nhóm:
+ Nhóm 4 - 5: gồm các điểm 4, 5 (có 2 số 4, 6 số 5):$n_1 = 8$
+ Nhóm 6 - 7: gồm các điểm 6, 7 (có 6 số 6, 7 số 7):$n_2 = 13$
+ Nhóm 8 - 9: gồm các điểm 8, 9 (có 6 số 8, 2 số 9):$n_3 = 9$
- Tổng số học sinh:$N = 8 + 13 + 9 = 30$

- Tần số tương đối:
+ Nhóm 4 - 5:$f_1 = \frac{8}{30} \approx 0,267$(26,7%)
+ Nhóm 6 - 7:$f_2 = \frac{13}{30} \approx 0,433$(43,3%)
+ Nhóm 8 - 9:$f_3 = \frac{9}{30} = 0,3$(30%)

- Lập bảng như sau:

| Nhóm điểm | Tần số ($n_i$) | Tần số tương đối ($f_i$) |
|-----------|----------------|--------------------------|
| 4 - 5 | 8 | 0,267 (26,7%) |
| 6 - 7 | 13 | 0,433 (43,3%) |
| 8 - 9 | 9 | 0,3 (30%) |
| Tổng | 30 | 1 (100%) |

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu số liệu quá ít, không nên ghép nhóm, nên giữ dạng bảng tần số đơn.
- Khi dữ liệu có nhiều giá trị trùng nhau, cần xác định dải nhóm phù hợp để thể hiện rõ sự phân bố.
- Đảm bảo các nhóm không chồng chéo nhau và che phủ toàn bộ dãy số liệu.
- Tổng tần số tương đối luôn phải xấp xỉ 1 (100%).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Thiết lập bảng tần số tương đối giúp học sinh dễ dàng tính trung bình cộng, trung vị, mốt của các dãy số ghép nhóm.
- Bảng là cơ sở để dựng biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình cột, biểu đồ hình quạt giúp trực quan hóa dữ liệu.
- Kiến thức về tần số tương đối là nền tảng cho nghiên cứu xác suất ở các lớp trên.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Bảng số liệu về chiều cao (cm) của 20 bạn học sinh như sau:
138, 140, 146, 149, 152, 154, 160, 150, 145, 147, 141, 155, 160, 148, 139, 150, 153, 151, 142, 147
Hãy lập bảng tần số tương đối ghép nhóm với các lớp: 138 - 143; 144 - 149; 150 - 155; 156 - 160.

Giải:
- Đếm số lượng từng nhóm:
+ 138 - 143: 138, 139, 140, 141, 142 ($n_1 = 5$)
+ 144 - 149: 145, 146, 147, 147, 148, 149 ($n_2 = 6$)
+ 150 - 155: 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155 ($n_3 = 7$)
+ 156 - 160: 160, 160 ($n_4 = 2$)
- Tổng số bạn:$N = 5 + 6 + 7 + 2 = 20$
- Tần số tương đối:
+$f_1 = \frac{5}{20} = 0,25$(25%)
+$f_2 = \frac{6}{20} = 0,3$(30%)
+$f_3 = \frac{7}{20} = 0,35$(35%)
+$f_4 = \frac{2}{20} = 0,1$(10%)
- Lập bảng:

| Nhóm chiều cao | Tần số | Tần số tương đối |
|----------------|--------|------------------|
| 138 - 143 | 5 | 0,25 (25%) |
| 144 - 149 | 6 | 0,3 (30%) |
| 150 - 155 | 7 | 0,35 (35%) |
| 156 - 160 | 2 | 0,1 (10%) |
| Tổng | 20 | 1 (100%) |

Bài tập 2: Một dãy số liệu có: 6, 7, 8, 5, 7, 9, 8, 6, 7, 8
Hãy lập bảng tần số tương đối khi chỉ chia thành 2 nhóm: 5 - 6 và 7 - 9.

Giải:
- 5 - 6: 5, 6, 6 ($n_1 = 3$)
- 7 - 9: 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9 ($n_2 = 7$)
- Tổng:$N = 10$
- Tần số tương đối:
+$f_1 = \frac{3}{10} = 0,3$(30%)
+$f_2 = \frac{7}{10} = 0,7$(70%)
- Lập bảng:

| Nhóm | Tần số | Tần số tương đối |
|--------|--------|------------------|
| 5 - 6 | 3 | 0,3 (30%) |
| 7 - 9 | 7 | 0,7 (70%) |
| Tổng | 10 | 1 (100%) |

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không xác định đúng tổng số số liệu (N).
- Các nhóm (lớp) bị chồng lấn hoặc bỏ sót giá trị.
- Chia nhóm không hợp lý khiến bảng thiếu ý nghĩa.
- Tính sai tần số tương đối (không chia đúng cho$N$).
-> Học sinh cần đếm kỹ, xác định nhóm rõ ràng, kiểm tra tổng tần số tương đối bằng 1 trước khi kết luận.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Bảng tần số tương đối ghép nhóm là công cụ quan trọng để phân tích, trình bày số liệu nhóm.
- Xác định chính xác lớp (nhóm) và đếm đúng số lượng mỗi nhóm.
- Tính tần số tương đối chính xác bằng cách chia tần số nhóm cho tổng số phần tử.
- Kỹ năng này là nền tảng cho các dạng bài toán thống kê và ứng dụng thực tế ở các lớp học cao hơn.