Tỉ số lượng giác của góc nhọn – Giải thích chi tiết và hướng dẫn cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về tỉ số lượng giác của góc nhọn và tầm quan trọng

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một khái niệm rất quan trọng trong chương trình toán học lớp 9, đặc biệt ở chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các tỉ số lượng giác giúp học sinh giải quyết tốt các dạng bài toán về tam giác vuông, tam giác nói chung cũng như là nền tảng cho các kiến thức lượng giác nâng cao ở các lớp trên. Đây cũng là chủ đề trọng tâm thường xuất hiện trong các kỳ thi, kiểm tra.

2. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho tam giác vuông$ABC$vuông tại$A$, với góc nhọn$B$. Trong tam giác vuông, đối với một góc nhọn, các tỉ số lượng giác được định nghĩa như sau:

• Sin (sinus) của góc $B$: $\sin B = \frac{Đối}{Huyền} = \frac{AC}{BC}$
• Cosin (cosinus) của góc $B$ :
  \cos B = \frac{Kề}{Huyền} = \frac{AB}{BC}
• Tang (tangent) của góc $B$ :
  \tan B = \frac{Đối}{Kề} = \frac{AC}{AB}
• Cotang (cotangent) của góc $B$ :
  \cot B = \frac{Kề}{Đối} = \frac{AB}{AC}

Trong các biểu thức trên, cạnh đối là cạnh nằm đối diện với góc đang xét, cạnh kề là cạnh nằm kề với góc đó (không phải là cạnh huyền), và cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông (đối diện với góc vuông).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông$ABC$vuông tại$A$, biết$AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc$B$.

1. Tính cạnh huyền$BC$dùng định lí Pythagore:
   $(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies BC = 10\ \text{cm}$
2. Xác định các cạnh:
   - Cạnh đối với góc$B$là $AC = 8$cm
   - Cạnh kề với góc$B$là $AB = 6$cm
   - Cạnh huyền là $BC = 10$cm
3. Tính các tỉ số lượng giác:
   
   - $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8$
   - $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6$
   - $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
   - $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Khi học, hãy luôn chú ý xác định đúng các cạnh tương ứng với mỗi góc để không bị nhầm lẫn.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Các tỉ số lượng giác chỉ được xác định với góc nhọn (góc > 0°, < 90°).
• Trong tam giác vuông, hai góc nhọn sẽ bù nhau thành 90°, tức là:$\alpha + \beta = 90°$(nếu tam giác vuông tại$C$, hai góc còn lại là $A, B$).
• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau có liên hệ đặc biệt: $\sin \alpha = \cos (90° - \alpha)$ và tương tự cho các tỉ số khác.
• Không áp dụng cho góc tù hoặc góc vuông.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tỉ số lượng giác là cầu nối giữa hình học và đại số, cho phép chuyển đổi các bài toán hình học khó thành bài toán về tỉ số và đại số dễ xử lý hơn.
- Đây là bước đầu để học về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác ở các lớp trên.
- Dùng để giải các bài toán thực tế về đo đạc, tính độ cao, khoảng cách – ứng dụng thực tiễn rất lớn.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác vuông$XYZ$vuông tại$Y$với$XY = 5$cm,$YZ = 12$cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc$X$.

1. Tìm cạnh huyền$XZ$:
   $(XZ)^2 = (XY)^2 + (YZ)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies XZ = 13\ \text{cm}$
2. Góc$X$:
   - Cạnh đối:$YZ = 12$cm
   - Cạnh kề:$XY = 5$cm
   - Huyền:$XZ = 13$cm
3. $\sin X = \frac{YZ}{XZ} = \frac{12}{13}$
   $\cos X = \frac{XY}{XZ} = \frac{5}{13}$
   $\tan X = \frac{12}{5}$
   $\cot X = \frac{5}{12}$

Bài tập 2: Một ngọn cây cao$h$m, bóng ngọn cây trên mặt đất dài$l$m, góc tạo bởi tia nắng và mặt đất là $\alpha$. Hãy biểu diễn$\tan \alpha$theo$h$và $l$.

Bài giải: Xét tam giác vuông với góc nhọn$\alpha$, ta có:$\tan \alpha = \frac{h}{l}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa cạnh đối với cạnh kề (hãy luôn vẽ hình, xác định rõ để tránh nhầm).
• Lấy nhầm cạnh huyền (luôn là cạnh dài nhất, đối diện góc vuông).
• Áp dụng công thức cho góc tù hoặc góc vuông (chỉ áp dụng cho góc nhọn).
• Quên rút gọn phân số hoặc tính toán sai.

8. Tóm tắt các điểm chính cần nhớ

• Tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa trong tam giác vuông và chỉ áp dụng cho góc nhọn.
• Bốn tỉ số: $\sin, \cos, \tan, \cot$ được xác định dựa trên các cạnh đối, kề, huyền tương ứng với góc xét.
• Hiểu và vận dụng tốt các tỉ số này giúp giải các bài toán hình học, thực tế, và là nền tảng cho học lượng giác ở các lớp trên.
• Cần xác định đúng vị trí các cạnh, chú ý các trường hợp đặc biệt và liên hệ với góc phụ nhau.