Tỉ số lượng giác của góc nhọn – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 9, tỉ số lượng giác của góc nhọn là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông và mối quan hệ giữa các cạnh.

- Khái niệm Tỉ số lượng giác của góc nhọn: tỉ số giữa cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền trong tam giác vuông.

- Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: giúp phân tích, tính toán và áp dụng vào các bài toán hình học, vật lý, kỹ thuật.

- Ứng dụng thực tế: đo chiều cao của tòa nhà, tính độ dốc đường, phân tích chuyển động.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Cho tam giác vuông với góc nhọn$\alpha$, các tỉ số lượng giác cơ bản được định nghĩa như sau:

$\sin \alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \quad \tan \alpha = \frac{a}{b}, \quad \cot \alpha = \frac{b}{a}$

- Định lý quan trọng: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$và $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

- Điều kiện áp dụng: góc$\alpha$phải là góc nhọn ($0<\alpha<90^\circ$).

2.2 Công thức và quy tắc

- Các công thức cần thuộc lòng:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha,$

$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha, \quad \cot(90^\circ - \alpha) = \tan \alpha.$

- Mẹo ghi nhớ (SOH–CAH–TOA): Sin = đối/huyền, Cos = kề/huyền, Tan = đối/kề.

- Điều kiện sử dụng từng công thức: tùy theo góc nhọn và kích thước cạnh trong tam giác.

- Các biến thể thường gặp: liên hệ giữa góc và góc phụ, góc bù (ví dụ: $\sin(90^\circ - \alpha)=\cos \alpha$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tam giác vuông $ABC$vuông tại$A$với$AB = 3\,$cm, $AC = 4\,$cm. Tính $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$.

Bước 1: Tính cạnh huyền: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,.$

Bước 2: Xác định cạnh đối, kề của góc$B$: đối là $AC = 4$, kề là $AB = 3$, huyền là $BC = 5$.

Bước 3: Tính các tỉ số: $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}, \quad \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}, \quad \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}.$

- Lưu ý: Kiểm tra lại kết quả bằng $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho tam giác vuông tại $C$có $\sin A = \tfrac{3}{5}$. Tính $\cos A$, $\tan A$, $\cot A$.

Giải: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} = \tfrac{4}{5},$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \tfrac{3}{4}, \quad \cot A = \frac{1}{\tan A} = \tfrac{4}{3}. $

- Kỹ thuật giải nhanh: sử dụng quan hệ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$và công thức$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Góc đặc biệt:

- Mối liên hệ với định lý Pythagore: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ giúp kiểm tra nhanh kết quả.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa $\sin$, $\cos$, $\tan$: nhớ rõ cạnh đối, kề, huyền.

- Xác định sai cạnh đối/kề so với góc cần tính.

- Cách tránh: vẽ hình, ghi chú cạnh đối/kề và cạnh huyền rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Áp dụng công thức sai: ví dụ dùng$\tan=\frac{a}{c}$thay vì $\frac{a}{b}$.

- Sai sót trong căn bậc hai, dấu$+$/$-$.

- Cách kiểm tra: đối chiếu với $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$và $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 50+ bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng với hệ thống tự động chấm điểm.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa chính: $\sin \alpha=\frac{a}{c}$, $\cos \alpha=\frac{b}{c}$, $\tan \alpha=\frac{a}{b}$, $\cot \alpha=\frac{b}{a}$.

- Quan hệ cơ bản: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

- Giá trị góc đặc biệt: 30°, 45°, 60°.

- Checklist ôn tập: vẽ hình, xác định cạnh, tính tỉ số, kiểm tra quan hệ Pythagore.

- Kế hoạch: 15 phút/ngày, ít nhất 10 bài, ôn tập định kỳ mỗi tuần.