Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

- Khái niệm: Cho đường tròn$(O)$và điểm$A$nằm ngoài đường tròn. Hai tiếp tuyến$AB$và $AC$(với$B$,$C$là tiếp điểm) cắt nhau tại$A$.

- Tại sao cần hiểu rõ: Giúp học sinh vận dụng vào các bài toán về góc và độ dài liên quan đến tiếp tuyến, rèn luyện tư duy hình học và chuẩn bị cho các dạng toán nâng cao.

- Ứng dụng thực tế: Áp dụng trong thiết kế bánh xe, kiến trúc cầu vòm và các bài toán vật lý liên quan đến lực tiếp xúc.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 20+ bài tập về Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa và khái niệm quan trọng:

• Tiếp tuyến của đường tròn: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại đúng một điểm.

• Điểm tiếp xúc: Điểm$B$,$C$mà tại đó tiếp tuyến chạm đường tròn.

• Hai tiếp tuyến cắt nhau: Hai tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm nằm ngoài đường tròn và gặp nhau tại điểm đó.

- Định lý và tính chất chính:

• Cho đường tròn$(O)$và điểm$A$nằm ngoài. Gọi$AB$,$AC$là hai tiếp tuyến tại$B$,$C$.

• Khi đó:

-$AB = AC$.

-$\angle BAC = 180^\circ - \widehat{BOC}$, trong đó $\widehat{BOC}$là số đo cung nhỏ $BC$.

- Điều kiện áp dụng và giới hạn:

• Điểm kẻ tiếp tuyến phải nằm ngoài đường tròn.

• Chỉ áp dụng khi vẽ hai tiếp tuyến từ cùng một điểm.

2.2 Công thức và quy tắc

- Danh sách công thức cần thuộc lòng:

•$AB = AC$.

•$\angle BAC = 180^\circ - \widehat{BOC}$.

- Cách ghi nhớ công thức hiệu quả: Hãy tưởng tượng hai đoạn$AB$,$AC$giống như hai sợi dây kéo từ cùng một điểm, chúng luôn bằng nhau.

- Điều kiện sử dụng từng công thức: Công thức độ dài ($AB=AC$) dùng để so sánh độ dài; công thức góc dùng để tính góc giữa hai tiếp tuyến.

- Các biến thể của công thức: Áp dụng cho các bài toán liên quan tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn$(O)$có bán kính$R=5$và điểm$A$ ở ngoài đường tròn sao cho$AO=13$. Vẽ tiếp tuyến$AB$,$AC$tại$B$,$C$. Xác định độ dài$AB$,$AC$và góc$BAC$nếu biết$\widehat{BOC}=70^\circ$.

Bước 1: Chứng minh$AB = AC$do tính chất hai tiếp tuyến từ cùng một điểm.

Bước 2: Tính góc$BAC$sử dụng công thức:$\angle BAC = 180^\circ - \widehat{BOC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Bước 3: Tính độ dài $AB$sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông$AOB$với$OB=R$và $AO=13$:
$AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12.$

Vậy$AB = AC = 12$và $\angle BAC = 110^\circ$.

Lưu ý: Vẽ hình chính xác và đánh dấu góc vuông tại tiếp điểm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho đường tròn$(O)$, điểm$A$ngoài đường tròn, tiếp tuyến$AB$,$AC$và điểm$D$trên cung nhỏ $BC$. Gọi$AD$cắt đường tròn tại$E$. Chứng minh$AB^2 = AD \cdot AE$và mối liên hệ giữa góc$BAC$và cung$BC$.

Phân tích và lời giải:

- Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến:$AB = AC$.

- Áp dụng định lý tích đoạn dây:$AB^2 = AD \cdot AE$.

- Kết luận:$\angle BAC = 180^\circ - \widehat{BC}$.

Kỹ thuật giải nhanh: Nhận diện ngay việc vận dụng tính chất tiếp tuyến và định lý tích đoạn dây.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi điểm$A$nằm trên đường tròn thì không thể vẽ hai tiếp tuyến cắt nhau.

- Nếu$\widehat{BOC} = 180^\circ$thì hai tiếp tuyến song song, không cắt nhau.

- Mối liên hệ với góc nội tiếp:$\angle BAC$liên hệ trực tiếp với số đo cung$BC$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai tiếp tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm thay vì đúng một điểm.

- Nhầm lẫn với tính chất tiếp tuyến – dây cung (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

- Phân biệt: Tiếp tuyến chỉ chạm tại một điểm và vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi áp dụng công thức góc (nhầm dấu trừ hoặc sai số đo cung).

- Lỗi xác định góc vuông tại tiếp điểm do vẽ hình không chính xác.

- Kiểm tra bằng cách vẽ hình và đối chiếu kết quả tính toán.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 20+ bài tập Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau miễn phí:

- Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức trên nền tảng trực tuyến.

- Theo dõi tiến độ và nhận gợi ý giải chi tiết sau mỗi bài.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Cho$(O)$và điểm$A$ngoài đường tròn: hai tiếp tuyến$AB$,$AC$thì $AB=AC$và $\angle BAC=180^\circ-\widehat{BOC}$.

- Checklist trước khi làm bài:

• Xác định đúng điểm tiếp xúc và vẽ bán kính vuông góc.

• Áp dụng chính xác công thức độ dài và công thức góc.

- Kế hoạch ôn tập: Luyện 5 bài cơ bản và 5 bài nâng cao mỗi ngày để ghi nhớ công thức và kỹ năng giải nhanh.