Tính chất của phép khai phương – Lý thuyết và bài tập chi tiết cho lớp 9

1. Giới thiệu về phép khai phương và tầm quan trọng

Phép khai phương là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt ở chương "Căn thức bậc hai". Đây là nền tảng cho việc giải các phương trình, bất phương trình chứa căn, cũng như là bước chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao ở các lớp trên và trong các kỳ thi quan trọng. Hiểu rõ và vận dụng đúng các tính chất của phép khai phương giúp học sinh giải toán nhanh hơn, chính xác hơn.

2. Định nghĩa chính xác về phép khai phương

Phép khai phương dùng để tìm ra số không âm mà khi bình phương lên thì bằng số đã cho. Cụ thể, với $a \geq 0$ , số không âm $x$ là căn bậc hai của $a$ nếu $x^2 = a$ . Ký hiệu toán học của căn bậc hai là $\sqrt{a}$ .

a \geq 0

Chú ý: So với phép bình phương, phép khai phương chỉ lấy giá trị không âm (căn số học), ví dụ $\sqrt{9} = 3$ chứ không phải $-3$ .

3. Các tính chất cơ bản của phép khai phương

Có ba tính chất cơ bản bạn cần ghi nhớ:

Tính chất nhân:

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \,\,\ (với\, a\geq0,\, b\geq0) $$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \,\,\ (với\, a\geq0,\, b\geq0)$$

Tính chất chia:

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \,\,\ (a \geq 0,\, b > 0) $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \,\,\ (a \geq 0,\, b > 0)$$

Tính chất bình phương của căn:

(\sqrt{a})^2 = a \,\ (a \geq 0) $$(\sqrt{a})^2 = a \,\ (a \geq 0)$$

4. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

Chúng ta cùng lấy từng tính chất và minh họa bằng ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tính $\sqrt{9 \cdot 16}$

Áp dụng tính chất nhân:

\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12 $$\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12$$

Ví dụ 2: Tính $\sqrt{\frac{25}{36}}$

Áp dụng tính chất chia:

\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6} $$\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$$

Ví dụ 3: Tính $(\sqrt{49})^2$

Áp dụng tính chất bình phương của căn:

(\sqrt{49})^2 = 49 $$(\sqrt{49})^2 = 49$$

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

Một số trường hợp cần đặc biệt chú ý:

Chỉ áp dụng các tính chất với số không âm: Cả

a

và

b

phải lớn hơn hoặc bằng 0 khi dùng tính chất nhân và chia.

Không có căn bậc hai thực của số âm trong chương trình THCS: Ví dụ,

\sqrt{-9}

không xác định trong phạm vi kiến thức lớp 9.

Căn một tích chỉ tách được khi cả hai thừa số đều không âm.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phép khai phương liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức Toán học khác nhau:

Liên hệ với bình phương: Là phép ngược lại của bình phương số thực không âm.

Liên hệ với giải phương trình: Khi giải phương trình chứa căn, cần sử dụng thuộc tính

\sqrt{a^2} = |a|

Liên hệ với các biểu thức chứa căn thức và việc rút gọn căn thức.

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

Bài 1: Tính $\sqrt{64 \cdot 4}$

Lời giải:

\sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16 $$\sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16$$

Bài 2: Tính $\sqrt{\frac{81}{25}}$

\sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5} $$\sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}$$

Bài 3: Tính $(\sqrt{15})^2$

(\sqrt{15})^2 = 15 $$(\sqrt{15})^2 = 15$$

Bài 4: Tính $\sqrt{20}$ dưới dạng tích $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ với $a$ và $b$ là số nguyên dương phù hợp.

Lời giải:

\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $$\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Tách căn của số âm: Không được tách nếu có số âm, ví dụ

\sqrt{-9}

không được viết thành

\sqrt{-1} \cdot \sqrt{9}

Tách căn khi thừa số/ số chia âm: Chỉ tách khi các số này không âm.

Quên điều kiện xác định (phải

a \geq 0

b > 0

khi chia).

Gán căn của bình phương số âm bằng chính số đó, ví dụ:

\sqrt{(-3)^2} \neq -3

, mà là

3

9. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

Phép khai phương chỉ áp dụng cho số không âm.

Ba tính chất cơ bản: Nhân, chia, bình phương căn.

Chỉ tách/cộng/trừ căn thức với điều kiện phù hợp.

Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi thực hiện phép biến đổi.

Liên hệ với kiến thức giải phương trình chứa căn, biểu thức căn thức, rút gọn căn thức và giải toán thực tế.

Blog

Tính chất của phép khai phương – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về phép khai phương và tầm quan trọng

2. Định nghĩa chính xác về phép khai phương

3. Các tính chất cơ bản của phép khai phương

4. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về phép khai phương và tầm quan trọng

2. Định nghĩa chính xác về phép khai phương

3. Các tính chất cơ bản của phép khai phương

4. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi