1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân cho biết khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số thực$k \neq 0$, chiều bất đẳng thức sẽ thay đổi hay giữ nguyên phụ thuộc vào dấu của$k$.

Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán bất đẳng thức, xây dựng nền tảng vững chắc cho các phần toán nâng cao sau này.

Ứng dụng thực tế: trong giải toán tỉ lệ, tài chính, kỹ thuật, khi cần so sánh hai đại lượng thông qua các phép nhân tỷ lệ.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Khi nhân bất đẳng thức với số thực$k \neq 0$, chiều bất đẳng thức phụ thuộc vào dấu của$k$.

- Tính chất 1: Với$k>0$, bất đẳng thức giữ nguyên chiều.

- Tính chất 2: Với$k<0$, bất đẳng thức đổi chiều.

Điều kiện áp dụng:$k \neq 0$,$a,b,k \in \mathbb{R}$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức 1:$a<b,\k>0 \implies a k<b k$.

- Công thức 2:$a<b,\k<0 \implies a k>b k$.

Cách ghi nhớ: "nhân dương giữ nguyên, nhân âm đổi chiều".

Điều kiện sử dụng: luôn kiểm tra$k \neq 0$trước khi áp dụng.

Biến thể với$\le,\ge$: tương tự như với$<,>$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ 1: Cho bất đẳng thức$2<5$, nhân cả hai vế với$3$. Vì $3>0$, chiều bất đẳng thức giữ nguyên.

Tính toán:$2 \times 3=6$,$5 \times 3=15 \Rightarrow 6<15$.

Kết luận: Ta thu được bất đẳng thức$6<15$, đúng với tính chất nhân với số dương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ 2: Cho$-2<4$, nhân cả hai vế với$-3$. Vì $-3<0$, chiều bất đẳng thức sẽ đổi hướng.

Tính toán:$-2 \times (-3)=6$,$4 \times (-3)=-12 \Rightarrow 6>-12$.

Kết luận: Chiều bất đẳng thức đã được đổi và ta có $6>-12$.

Kỹ thuật giải nhanh: kiểm tra dấu của số nhân trước, sau đó thực hiện phép nhân và viết chiều mới.

4. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp$k=0$: nếu nhân bất đẳng thức với 0 thì cả hai vế đều bằng 0, không còn ý nghĩa so sánh.

Bất đẳng thức với dấu "nhỏ hơn hoặc bằng/ lớn hơn hoặc bằng": áp dụng tương tự, chỉ đổi chiều khi nhân với số âm.

Mối liên hệ với phép chia: chia cả hai vế cho số dương/âm cũng tuân theo nguyên tắc tương tự (chia cho$k>0$giữ chiều, chia cho$k<0$ đổi chiều).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn dấu của số nhân dẫn đến thay đổi chiều sai.

- Hiểu sai điều kiện$k \neq 0$, áp dụng khi$k=0$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Tính sai tích, nhất là khi làm việc với số âm.

- Không kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng công thức.

Phương pháp kiểm tra: sau khi giải xong, thử thay giá trị cụ thể để kiểm chứng bất đẳng thức.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 50+ bài tập Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng với các dạng bài đa dạng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính cần nhớ:

- Nhân với số dương giữ nguyên chiều bất đẳng thức.

- Nhân với số âm đổi chiều bất đẳng thức.

- Luôn kiểm tra điều kiện$k \neq 0$trước khi áp dụng.

Checklist ôn tập trước khi làm bài.

Kế hoạch ôn tập: giải 5-10 bài mỗi ngày, tổng hợp các bài sai để xem lại lý thuyết tương ứng.