1. Giới thiệu về hình vành khuyên và vai trò trong toán học lớp 9

Hình vành khuyên là dạng hình học phổ biến, thường xuất hiện trong các bài toán thực tế cũng như trong đề thi học sinh giỏi và các đề kiểm tra học kỳ. Kiến thức về hình vành khuyên giúp học sinh phát triển tư duy hình học, kỹ năng vận dụng công thức tính diện tích và hiểu sâu hơn các quan hệ giữa các đường tròn đồng tâm.

Việc nắm vững cách tính diện tích hình vành khuyên không chỉ giúp học sinh giải quyết các dạng bài tập cơ bản mà còn ứng dụng được vào các bài toán thực tiễn như tính diện tích miếng vòng gỗ, trang trí hay xây dựng các công trình hình tròn đồng tâm.

2. Định nghĩa và nhận dạng hình vành khuyên

Hình vành khuyên là phần hình phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau. Hình này được tạo bởi việc lấy một hình tròn lớn và "khoét" đi một hình tròn nhỏ bên trong, cùng chung tâm với hình tròn lớn.

Cụ thể: Cho hai đường tròn tâm$O$cùng tâm, bán kính lần lượt là $R$(lớn) và $r$(nhỏ), với$R > r > 0$. Hình vành khuyên là phần hình phẳng được gạch sọc trong hình sau:

3. Công thức tính diện tích hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên ($S$) bằng diện tích hình tròn lớn trừ đi diện tích hình tròn nhỏ, cùng có tâm$O$:

Công thức tổng quát:

Trong đó:

$R$: Bán kính đường tròn lớn

$r$: Bán kính đường tròn nhỏ ($0 < r < R$)

4. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt là $R = 5\,cm$và $r = 3\,cm$. Tính diện tích hình vành khuyên được tạo thành bởi hai đường tròn này.

Lời giải:

• Áp dụng công thức:$S = \pi (R^2 - r^2)$
• Thay số vào:$S = \pi (5^2 - 3^2) = \pi (25 - 9) = \pi \times 16$
• Vậy$S = 16\pi \approx 50,27\,cm^2$(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

Ví dụ 2: Nếu biết hiệu bán kính là $d = R - r$và tổng bán kính là $t = R + r$, thử tính diện tích hình vành khuyên dưới dạng khác

• Ta có:$R^2 - r^2 = (R - r)(R + r) = d \cdot t$
• Nên diện tích:$S = \pi d t$

Cách này thuận tiện với bài toán cho trước tổng và hiệu bán kính.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng công thức

- Nếu$r = 0$thì hình vành khuyên trở thành hình tròn có bán kính$R$.

- Hai đường tròn phải đồng tâm, nếu không công thức không còn đúng nữa.

- Luôn đảm bảo$R > r > 0$ để diện tích là một số dương và hình vành khuyên tồn tại thực tế.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Kỹ năng tính diện tích hình tròn là nền tảng để tính diện tích hình vành khuyên.

- Hình vành khuyên là một bài toán về sự khác biệt của hai hình tròn – giúp hình thành tư duy trừ các phần hình học phức tạp.

- Bài toán về hình vành khuyên còn xuất hiện trong các dạng toán quạt tròn, hình tròn ngoại tiếp, ứng dụng thực tế (xây dựng, thiết kế)...

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Hai đường tròn đồng tâm có bán kính$9\,cm$và $5\,cm$. Tính diện tích hình vành khuyên được tạo thành.

Giải:

• Áp dụng công thức:$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (9^2 - 5^2) = \pi (81 - 25) = 56\pi$
• Vậy$S \approx 175,93\,cm^2$(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

Bài 2: Một hình vành khuyên có hiệu độ dài bán kính là $4\,cm$, tổng độ dài bán kính là $20\,cm$. Tính diện tích hình vành khuyên.

Giải:

• Diện tích:$S = \pi d t = \pi \times 4 \times 20 = 80\pi$
• Vậy$S \approx 251,33\,cm^2$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa$R$và $r$khi thay vào công thức (bán kính lớn – bán kính nhỏ). Giải pháp: Ghi rõ ký hiệu, kiểm tra lại trước khi tính.
• Quên bình phương các bán kính ($R^2$và $r^2$), thay trực tiếp số bán kính. Cách tránh: Luôn viết bước trung gian.
• Lỗi không lấy$R > r$, dẫn đến kết quả âm hoặc không có hình vành khuyên. Luôn kiểm tra điều kiện.
• Sai đơn vị diện tích (vd: nhầm$cm$và $cm^2$). Phải kiểm tra đơn vị kết quả.

9. Tóm tắt các điểm chính cần nhớ

• Hình vành khuyên là vùng giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính$R > r$.
• Diện tích hình vành khuyên:$S = \pi (R^2 - r^2)$hoặc$S = \pi (R - r)(R + r)$
• Kiểm tra điều kiện đồng tâm và $R > r > 0$.
• Cẩn thận tránh các lỗi thay số, sai đơn vị và lý luận thiếu chính xác.

Hy vọng qua bài viết này, các em nắm chắc kiến thức về hình vành khuyên và tự tin làm chủ các dạng bài liên quan trong chương trình toán lớp 9!