1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm Tổng và tích nghiệm (theo định lý Viète) giúp liên hệ hệ số của phương trình bậc hai với tổng và tích của nghiệm.

Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh giải nhanh bài toán về nghiệm phương trình, xây dựng đa thức với nghiệm cho trước, và nhiều ứng dụng khác.

Trong thực tế, tính tổng và tích nghiệm xuất hiện trong nhiều bài toán liên quan đến chuyển động, tối ưu và mô hình hóa.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 42.227+ bài tập Tổng và tích nghiệm để rèn kỹ năng ngay hôm nay.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Cho phương trình bậc hai$ax^2 + bx + c = 0$với$a \neq 0$và nghiệm$x_1$,$x_2$.

- Định lý Viète:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

- Điều kiện áp dụng: chỉ dùng cho phương trình bậc hai; nghiệm có thể là thực hoặc phức.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cần thuộc lòng:
+$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
+$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

- Biến thể: Với$a=1$, đa thức có dạng$x^2 - Sx + P$, trong đó $S = x_1 + x_2$,$P = x_1 x_2$.

- Mẹo ghi nhớ: hình dung khai triển$(x - x_1)(x - x_2)$ để nhớ dấu cho đúng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Giải phương trình$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Giải:
Bước 1: Nhận xét$a=1$,$b=-5$,$c=6$.
Bước 2: Áp dụng định lý Viète:
-$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$.
-$x_1 x_2 = \frac{6}{1} = 6$.
Bước 3: Tìm hai số có tổng 5 và tích 6 là 2 và 3.
Vậy nghiệm:$x_1 = 2$,$x_2 = 3$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra nghiệm bằng cách thay vào phương trình gốc để tránh sai sót về dấu.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho phương trình$3x^2 + 7x - 20 = 0$. Tìm tổng và tích nghiệm, sau đó viết phương trình có nghiệm là $x_1 + 1$và $x_2 + 1$.

Giải:
Bước 1:$a=3$,$b=7$,$c=-20$.
Bước 2:$x_1 + x_2 = -\frac{7}{3}$,$x_1 x_2 = -\frac{20}{3}$.
Bước 3: Đặt$y_1 = x_1 + 1$,$y_2 = x_2 + 1$.
- Tổng mới:$y_1 + y_2 = x_1 + x_2 + 2 = -\frac{7}{3} + 2 = -\frac{1}{3}$.
- Tích mới:$y_1 y_2 = x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = -\frac{20}{3} -\frac{7}{3} + 1 = -\frac{26}{3} + 1 = -\frac{23}{3}$.
Bước 4: Viết phương trình:$z^2 - (y_1 + y_2)z + y_1 y_2 = z^2 + \frac{1}{3}z - \frac{23}{3} = 0$.

Kỹ thuật giải nhanh: Sử dụng công thức tổng - tích để chuyển đổi trực tiếp giữa hệ số và nghiệm, tránh tính căn thừa.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Trường hợp Δ = 0 cho nghiệm kép$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.
- Trường hợp Δ < 0 có nghiệm phức nhưng công thức tổng và tích nghiệm vẫn đúng.
- Liên hệ với phép phân tích đa thức:$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm dấu khi áp dụng$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
- Cho rằng tổng nghiệm bằng$\frac{b}{a}$hoặc tích nghiệm bằng$-\frac{c}{a}$là sai.
Cách tránh: Hình dung khai triển$(x - x_1)(x - x_2)$ để nhớ dấu.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên chia hết cho$a$khi tính tổng hoặc tích nghiệm.
- Sai trong phép tính phân số.
Phương pháp kiểm tra: Thay nghiệm ngược lại vào phương trình gốc hoặc áp dụng tổng, tích nghiệm để xác nhận.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.227+ bài tập Tổng và tích nghiệm miễn phí để tự luyện giải nhanh. Không cần đăng ký, không mất phí và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Ghi nhớ công thức:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$và $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
- Trước khi giải bài: xác định đúng$a$,$b$,$c$và dấu Δ.
- Kế hoạch ôn tập: mỗi ngày giải ít nhất 5 bài tập, hệ thống biến thể công thức vào sổ tay.