Blog

Lớp 9

Giải thích chi tiết về Tổng và tích nghiệm phương trình bậc hai – Toán lớp 9

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Tổng và tích nghiệm

Tổng và tích nghiệm là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt liên quan đến phương trình bậc hai. Hiểu rõ về tổng và tích nghiệm giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán, rút gọn quá trình tính toán, từ đó tăng khả năng tư duy logic trong học tập cũng như đời sống.

Việc nắm vững khái niệm tổng và tích nghiệm không chỉ giúp giải nhanh phương trình bậc hai, mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều dạng toán như tính toán số học, chứng minh các quan hệ giữa nghiệm, và giải toán thực tế. Đây còn là nền tảng cho các kiến thức toán khó hơn bậc THPT.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.666 bài tập Tổng và tích nghiệm ở cuối bài!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Cho phương trình bậc hai dạng tiêu chuẩn ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0(a≠0a \neq 0) có hai nghiệmx1,x2x_1, x_2. Khi đó:

- Tổng hai nghiệm x1+x2x_1 + x_2và tích hai nghiệm x1×x2x_1 \times x_2được gọi là tổng và tích nghiệm của phương trình.

- Định lý Viète: Nếux1,x2x_1, x_2là hai nghiệm của phương trìnhax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0thì:

  • Tổng nghiệm:x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • Tích nghiệm:x1×x2=cax_1 \times x_2 = \frac{c}{a}

    • - Điều kiện áp dụng: Phương trình bậc hai phải có nghiệm thực (nghĩa là Δ≥0\Delta \geq 0).

    2.2 Công thức và quy tắc

  • Công thức cần nhớ:
  • x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}và x1×x2=cax_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}
  • Cách ghi nhớ: Tổng đối dấu vớibb, tích cùng dấu vớicc(xét trên hệ số aa).
  • Chỉ sử dụng cho phương trình bậc haiax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0(a≠0a \neq 0).
  • Khi phương trình có dạngx2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0(a=1a=1): tổng là −b-b, tích là cc.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho phương trình2x2−5x+3=02x^2 - 5x + 3 = 0. Hãy tính tổng và tích nghiệm.

  • Xác định hệ số:a=2a = 2,b=−5b = -5,c=3c = 3.
  • Tổng nghiệm:x1+x2=−−52=52x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{2} = \dfrac{5}{2}.
  • Tích nghiệm:x1×x2=32x_1 \times x_2 = \dfrac{3}{2}.

    • Lưu ý: Không cần giải ra các nghiệm cụ thể, chỉ dùng đúng công thức tổng và tích!

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho biết hai nghiệm của phương trìnhx2+px+6=0x^2 + px + 6 = 0là 22và 44. Tìmpp.

    Theo đề bài:x1=2x_1 = 2,x2=4x_2 = 4.

  • Tổng nghiệm:2+4=62 + 4 = 6.
  • Tích nghiệm:2×4=82 \times 4 = 8.
  • Theo công thức, tổng nghiệmx1+x2=−px_1 + x_2 = -p.
  • So sánh:6=−p6 = -p=>p=−6p = -6.
    • Minh họa đồ thị hàm số y = 2x² - 5x + 3 với các nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 1.5, chú thích tổng nghiệm x₁ + x₂ = 2.5 và hình chữ nhật minh họa tích nghiệm x₁·x₂ = 1.5
    Hình minh họa: Đồ thị minh họa: hàm số y = x² - 2x + 1 có Δ = 0 với nghiệm kép x₁ = x₂ = 1 (tiếp xúc trục hoành tại (1,0)), và hàm số y = x² + 1 có Δ < 0 không cắt trục hoành, không có nghiệm thực
    Đồ thị minh họa: hàm số y = x² - 2x + 1 có Δ = 0 với nghiệm kép x₁ = x₂ = 1 (tiếp xúc trục hoành tại (1,0)), và hàm số y = x² + 1 có Δ < 0 không cắt trục hoành, không có nghiệm thực

    Kỹ thuật giải nhanh: Thay nghiệm vào công thức tổng, suy ra hệ số pp.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Phương trình có nghiệm kép (Δ=0\Delta = 0):x1=x2x_1 = x_2. Tổng và tích đều bằng nghiệm (kép).
  • Phương trình không có nghiệm thực: Không có tổng và tích nghiệm thực.
  • Liên hệ với phương trình bậc hai khác: So sánh tổng/tích để xác định quan hệ giữa nghiệm.

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn giữa tổng nghiệm (x1+x2x_1 + x_2) và tổng hệ số (a+b+ca + b + c).
  • Hiểu sai công thức tổng - tích nghiệm (đặc biệt nhớ dấu trừ ở công thức tổng!).

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai dấu hoặc sai mẫu số khi áp dụng công thức.
  • Không kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm thực trước khi sử dụng công thức.
  • Cách kiểm tra: Sau khi tính tổng và tích, kiểm tra lại bằng phép thế nghiệm hoặc phương trình gốc.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay 42.666+ bài tập Tổng và tích nghiệm miễn phí. Không cần đăng ký — bắt đầu luyện tập và cải thiện kỹ năng ngay!

    Làm bài tập trực tuyến, theo dõi tiến trình và kiểm tra kết quả từng bước.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Công thức cần nhớ:x1+x2=−ba;\x1×x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; \x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}.
  • Chỉ áp dụng cho phương trình bậc hai (a≠0a \neq 0) có nghiệm thực.
  • Đọc kỹ yêu cầu đề bài, soát lại dấu và mẫu số.
  • Lập kế hoạch ôn tập bằng luyện bài tập thường xuyên.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".