1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, tứ giác nội tiếp là kiến thức trọng tâm của phần Hình học, mở đầu cho các bài toán hình phức tạp hơn ở các lớp học cao hơn. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán chứng minh, tính toán góc, độ dài liên quan đến đường tròn, đồng thời củng cố tư duy logic và kỹ năng phân tích hình học. Thực tế, tứ giác nội tiếp còn liên quan tới các bài toán thực tiễn như thiết kế, xây dựng, kiến trúc, v.v.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 40.744+ bài tập chuyên đề Tứ giác nội tiếp ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác; các đỉnh là các điểm nằm trên đường tròn đó.

• Tính chất:Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối nhau bằng 180 độ: nếu tứ giác$ABCD$nội tiếp đường tròn thì:\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ, \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ" data-math-type="inline"> $<!--LATEX_PROCESSED_1754201723643--><code class="bg-gray-100 px-1 rounded">\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ</code><code class="bg-gray-100 px-1 rounded">, \widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ</code>$

• Điều kiện tứ giác nội tiếp:Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tổng hai góc đối bằng$180^\circ$hoặc bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức tổng góc đối:$\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$,$\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$.

• Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp (công thức Brahmagupta):

Trong đó $a, b, c, d$là độ dài các cạnh,$p = \frac{a+b+c+d}{2}$là nửa chu vi.

• Quy tắc ghi nhớ: Khi thấy tổng hai góc đối bằng$180^\circ$=> tứ giác đó nội tiếp, hoặc ngược lại.

• Biến thể: Có thể sử dụng các tam giác nội tiếp, đa giác nội tiếp đường tròn khi suy luận.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tứ giác$ABCD$nội tiếp đường tròn tâm$O$, biết$\widehat{A} = 80^\circ$,$\widehat{C} = 100^\circ$. Chứng minh rằng$ABCD$nội tiếp và tính$\widehat{B}$,$\widehat{D}$.

Bước 1: Kiểm tra tổng hai góc đối:$80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$.

Bước 2:$\Rightarrow$ABCD$nội tiếp đường tròn.

Bước 3: Tính$\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$. Nếu$\widehat{B} = 110^\circ$,$\widehat{D} = 70^\circ$(có thể cho thêm dữ kiện để tìm ra giá trị cụ thể).

Lưu ý: Luôn kiểm tra tổng góc đối và xác định vị trí hai góc đó!

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho tứ giác$ABCD$với$AC$cắt$BD$tại$E$. Biết$\widehat{ABE} = 70^\circ$,$\widehat{CDE} = 60^\circ$,$\widehat{EBA} = 50^\circ$. Chứng minh$ABCD$nội tiếp.

Giải:Sử dụng các góc được cho, chứng minh$\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$, hoặc tìm các cặp góc cùng chắn một cung để chứng minh cùng bằng một giá trị.

Kỹ thuật: Vẽ hình rõ ràng, chú ý các điểm giao, sử dụng thêm tính chất tam giác đồng quy nếu cần.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Tứ giác lồi hoặc tứ giác bị bẹt (trường hợp bốn điểm thẳng hàng là trường hợp ngoại lệ không thể nội tiếp đường tròn).

• Tứ giác là hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân đều là các tứ giác nội tiếp nổi bật.

• Trường hợp góc bẹt, góc tù lớn hơn$180^\circ$là những trường hợp ngoại lệ cần chú ý.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai tứ giác nội tiếp là tứ giác có hai cạnh kề nhau nằm trên đường tròn (sai).

• Nhầm với tứ giác ngoại tiếp (tứ giác có các cạnh tiếp xúc với một đường tròn).

• Để phân biệt, hãy nhớ: tứ giác nội tiếp: 4 đỉnh nằm trên một đường tròn; tứ giác ngoại tiếp: 4 cạnh tiếp xúc với một đường tròn.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên cộng đúng góc đối, nhầm dấu hoặc nhầm đơn vị độ (rad/độ).

• Sai khi áp dụng công thức diện tích tứ giác nội tiếp, quên điều kiện các cạnh phải hợp thành tứ giác thực sự nội tiếp.

• Nên kiểm tra lại kết quả bằng cách thay số vào công thức tổng góc đối hoặc vẽ hình kiểm tra.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 40.744+ bài tập Tứ giác nội tiếp miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập mọi lúc, dễ dàng kiểm tra tiến độ học tập và nâng cao kỹ năng theo từng bước.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Định nghĩa: 4 đỉnh cùng nằm trên đường tròn.

• Tính chất: Tổng hai góc đối bằng 180 độ.

• Sai lầm phổ biến: Nhầm với tứ giác ngoại tiếp.

• Checklist ôn tập: Hiểu kỹ định nghĩa, công thức tổng góc đối và điều kiện sử dụng. Luyện tập các bài toán thực tế và nhận biết trường hợp đặc biệt.

Chúc bạn học tốt và tự tin khi “chinh phục” mọi bài tập tứ giác nội tiếp!