1. Giới thiệu về ứng dụng của định lý Viète

Định lý Viète là một trong những nội dung quan trọng và gần gũi trong chương trình toán học lớp 9. Việc nắm vững và biết áp dụng các ứng dụng của định lý Viète sẽ giúp học sinh giải nhanh nhiều bài toán về phương trình bậc hai, các bài toán về tìm nghiệm, kiểm tra nghiệm,... Đây là một công cụ toán học mạnh mẽ, giúp rút ngắn các bước giải, từ đó nâng cao hiệu quả học tập và giải quyết các vấn đề toán học thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác: Định lý Viète là gì?

Cho phương trình bậc hai ẩn$x$có dạng:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

Gọi$x_1$và $x_2$là hai nghiệm của phương trình, định lý Viète khẳng định:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

3. Diễn giải chi tiết từng bước và ví dụ minh họa

3.1. Tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Cho phương trình$x^2 - 5x + 6 = 0$. Hãy tính tổng và tích các nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lý Viète, ta có:
-$a = 1$,$b = -5$,$c = 6$
-$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$
-$x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6$
Vậy tổng và tích hai nghiệm lần lượt là 5 và 6.

3.2. Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích

Ví dụ 2: Tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng 6.

Gọi hai số đó là $x_1$và $x_2$.
-$x_1 + x_2 = 5$
-$x_1 \cdot x_2 = 6$

Ta chuyển thành phương trình bậc hai:$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, tức là:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Giải phương trình:$(x-2)(x-3)=0$, nghiệm là $x=2$và $x=3$.

3.3. Ứng dụng kiểm tra nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Kiểm tra xem$x=4$có phải là nghiệm của phương trình$x^2 - 7x + 12 = 0$hay không.

Nếu$x=4$là nghiệm thứ nhất$\Rightarrow$nghiệm còn lại$x_2 = x_1 + x_2 - x_1 = (x_1 + x_2) - x_1$.
Áp dụng Viète:
-$x_1 + x_2 = 7$
-$x_2 = 7-4 = 3$
-$x_1 \cdot x_2 = 12$
-$4 \cdot 3 = 12$(đúng)
Vậy$x=4$là một nghiệm của phương trình.

3.4. Bài toán về các tham số trong phương trình

Ví dụ 4: Xác định giá trị của$m$ để phương trình$x^2 + (m-2)x + m = 0$có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng$-1$.

Nếu có nghiệm$x_1 = -1$, thay vào phương trình:
$(-1)^2 + (m-2) \cdot (-1) + m = 0$
$1 - m + 2 + m = 0$
$3 = 0$(vô lý)

Vậy với giá trị này thì không tồn tại nghiệm$-1$. Ta có thể đặt thêm bài khác với$x_1 = 1$ để học sinh tự thực hành.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Định lý Viète CHỈ áp dụng cho các phương trình bậc hai có hệ số $a \neq 0$và phương trình có hai nghiệm (có thể bằng nhau).
- Các nghiệm có thể là số thực hoặc số phức (đối với bậc học nâng cao).
- Nếu phương trình có hai nghiệm bằng nhau (nghiệm kép), thì tổng hai nghiệm là $2x_1=-\frac{b}{a}$, tích là $x_1^2=\frac{c}{a}$.
- Nếu phương trình không có nghiệm thực thì tổng – tích vẫn đúng nhưng có thể khó hình dung giá trị cụ thể đối với học sinh lớp 9.

5. Mối liên hệ của định lý Viète với các khái niệm toán học khác

- Định lý Viète liên quan mật thiết tới khái niệm về nghiệm phương trình, hệ thức đối xứng, ứng dụng trong các bài toán về hệ phương trình cũng như ứng dụng trong tam thức bậc hai.
- Có thể dùng để biến đổi, rút gọn biểu thức, lập phương trình với điều kiện cho trước (về tổng, tích các nghiệm,...).

6. Bài tập mẫu về ứng dụng định lý Viète (kèm lời giải chi tiết)

Bài 1: Tìm phương trình bậc hai có tổng bằng 4, tích bằng 3.

Giải:
Gọi$x_1, x_2$là hai nghiệm.
-$x_1 + x_2 = 4$
-$x_1 \cdot x_2 = 3$
Dạng phương trình:$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$
$x^2 - 4x + 3 = 0$

Bài 2: Cho phương trình$2x^2 - 6x + k = 0$có một nghiệm bằng 2. Tìm$k$và nghiệm còn lại.

Giải:
Thay$x_1 = 2$vào:
$2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 + k = 0$
$8 - 12 + k = 0 \Rightarrow k = 4$
Khi đó phương trình là $2x^2 - 6x + 4 = 0$.
Áp dụng Viète:
$x_1 + x_2 = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = 3 - 2 = 1$
Vậy nghiệm còn lại là 1.

Bài 3: Cho phương trình$x^2 + 2x + m = 0$có hai nghiệm trái dấu. Tìm điều kiện của$m$.

Giải:
Để hai nghiệm trái dấu:
Theo Viète:$x_1 \cdot x_2 = m$
Hai nghiệm trái dấu$\Rightarrow x_1 \cdot x_2 < 0$, tức là $m < 0$.
Đồng thời, phương trình phải có hai nghiệm phân biệt:
$\Delta = 2^2 - 4m > 0 \Rightarrow 4 - 4m > 0 \Rightarrow m < 1$
Kết hợp:$m < 0$

7. Các lỗi thường gặp khi áp dụng định lý Viète và cách tránh

- Nhầm dấu cộng/trừ trong công thức (đặc biệt là $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, cần nhớ dấu trừ).
- Áp dụng định lý Viète cho phương trình không phải bậc hai hoặc có hệ số $a = 0$.
- Nhầm tổng và tích với các hệ số phương trình.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Định lý Viète giúp liên hệ tổng, tích các nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
- Được sử dụng để tìm phương trình, kiểm tra nghiệm, tìm điều kiện của tham số, đặt ẩn, v.v.
- Áp dụng đúng cho phương trình từ bậc hai trở lên, lưu ý ký hiệu và điều kiện.
- Cần thường xuyên luyện tập và kiểm tra lại các phép biến đổi để tránh nhầm lẫn.

Nắm chắc ứng dụng của định lý Viète giúp học sinh tự tin giải toán và xử lý nhiều bài toán nâng cao trong chương trình toán lớp 9.