Blog

Lớp 9

Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông giúp học sinh xác định được mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông để tính toán chiều dài cạnh, độ cao hoặc khoảng cách giữa các điểm.

Hiểu rõ khái niệm này giúp củng cố kiến thức về lượng giác cơ bản, phát triển tư duy hình học và chuẩn bị tốt cho các bài toán nâng cao ở những năm học tiếp theo.

Trong thực tế, kiến thức này được ứng dụng trong xây dựng, thiết kế kiến trúc, đo đạc địa hình, mô phỏng chuyển động và nhiều lĩnh vực khoa học-kỹ thuật khác.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập giúp bạn thực hành, tự đánh giá và nâng cao kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

  • Định nghĩa và khái niệm quan trọng: hệ thức lượng trong tam giác vuông liên kết tỉ số giữa cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền với góc nhọn.
  • Các định lý và tính chất chính: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tỉ số sin, cos, tan và quan hệ giữa chúng.
  • Điều kiện áp dụng và giới hạn: chỉ dùng cho tam giác vuông, góc xét phải là góc nhọn.

    • 2.2 Công thức và quy tắc

  • Danh sách công thức cần thuộc lòng: sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}, tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}.
  • Cách ghi nhớ công thức hiệu quả: nhớ theo thứ tự SOH-CAH-TOA (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent).
  • Điều kiện sử dụng từng công thức: xác định đúng cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền đối với góc cần tính.
  • Các biến thể của công thức: a=csin⁡αa = c\sin \alpha, b=ccos⁡αb = c\cos \alpha, a=btan⁡αa = b\tan \alpha, b=atan⁡αb = \frac{a}{\tan \alpha}.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho tam giác vuôngABCABCvuông tạiBB, biếtAB=3 cmAB = 3\,\text{cm},BC=4 cmBC = 4\,\text{cm}. Tính độ dài cạnh huyềnACACvà các tỉ số lượng giác của gócAA.

  • Bước 1: Áp dụng định lí Pythagoras: AC=AB2+BC2=32+42=5 cm.AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\,\text{cm}.
  • Bước 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc AA: sin⁡A=BCAC=45,cos⁡A=ABAC=35,tan⁡A=BCAB=43.\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}, \quad \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}, \quad \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}.

    • Lưu ý: Đặt cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền đúng với góc cần xét để áp dụng công thức chính xác.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho tam giác vuôngABCABCvuông tạiCC, kẻ đường caoCDCDxuống cạnh huyềnABAB. BiếtAC=6AC = 6,BC=8BC = 8. Tính độ dàiCDCD,ADAD,DBDBvà các tỉ số lượng giác của gócAA.

  • Tổng độ dài cạnh huyền: AB=AC2+BC2=10AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 10.
  • Đường caoCDCDtheo công thức đường cao trên cạnh huyền:CD=AC⋅BCAB=6×810=4.8.CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \times 8}{10} = 4.8.
  • ĐoạnADADvà DBDB:AD=AC2AB=3610=3.6,DB=BC2AB=6410=6.4.AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{36}{10} = 3.6, \quad DB = \frac{BC^2}{AB} = \frac{64}{10} = 6.4.
  • Các tỉ số lượng giác của góc AA: sin⁡A=BCAB=810=45,cos⁡A=ACAB=610=35,tan⁡A=BCAC=86=43.\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.

    • Kỹ thuật: kết hợp Pythagoras, công thức lượng giác và công thức về đường cao để giải nhanh chính xác.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Tam giác vuông cân (α=45∘\alpha = 45^\circ): a=ba = b, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Góc 30∘30^\circvà 60∘60^\circ: trong tam giác đặc biệt có tỉ lệ 1:31:\sqrt{3}.
    • Hình minh họa tam giác vuông với góc nhọn α, chú thích cạnh đối (a), cạnh kề (b), cạnh huyền (c) và các công thức sin(α)=a/c, cos(α)=b/c, tan(α)=a/b
    Minh họa tam giác vuông với góc α tại gốc tọa độ, trong đó cạnh đối a, cạnh kề b, cạnh huyền c, kèm chú thích công thức sinα = a/c, cosα = b/c và tanα = a/b
  • Khi tínhtan⁡α\tan \alpha, chú ý không chia cho 0 (cạnh kề không được bằng 0).
  • Mối liên hệ với các định lý khác: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, Pythagoras cho tam giác vuông.

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn cạnh đối, cạnh kề so với góc cần xét dẫn đến áp dụng sai công thức.
  • Hiểu sai định nghĩa sin, cos, tan (ví dụ sin = kề/huyền thay vì đối/huyền).
  • Cách tránh: vẽ hình, đánh dấu rõ cạnh đối, kề, huyền trước khi tính.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Sai sót khi áp dụng công thức Pythagoras (nhầm bình phương hay quên căn bậc hai).
  • Nhầm biến thức khi tính tỉ số (ví dụ lấy a/b thay b/a).
  • Cách tránh: kiểm tra lại kết quả với công thức sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 hoặc tính ngược lại để so sánh.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

  • Truy cập 100+ bài tập Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông miễn phí.
  • Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
  • Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng từng ngày.

    • 7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Lý thuyết và công thức cơ bản: sin, cos, tan và các biến thể.
  • Checklist trước khi làm bài: vẽ hình, xác định góc và các cạnh, chọn công thức phù hợp.
  • Kế hoạch ôn tập hiệu quả: luyện mỗi ngày, giải nhiều ví dụ cơ bản và nâng cao.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".