Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm – Khái niệm, ý nghĩa và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

Trong chương trình toán lớp 9, chủ đề thống kê và các biểu đồ là phần quan trọng giúp chúng ta biểu diễn, phân tích và so sánh các tập hợp số liệu. Một trong số đó là “vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm”, một dạng biểu đồ thể hiện rõ ràng cách phân bố dữ liệu từ bảng tần số tương đối của các lớp (nhóm) số liệu. Việc nắm vững khái niệm và cách vẽ biểu đồ này sẽ giúp học sinh dễ dàng phân tích, đánh giá và rút ra kết luận từ các bài toán thống kê thực tế.

2. Định nghĩa biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm là một biểu đồ dùng để biểu diễn sự phân bố của một đại lượng (dữ liệu) đã được phân nhóm (ghép nhóm) thành các lớp giá trị liên tiếp nhau, thể hiện thông qua TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI của mỗi lớp. Trục hoành của biểu đồ luôn biểu diễn các lớp (nhóm) số liệu, còn trục tung là tần số tương đối (thường ở dạng phần trăm hoặc số thập phân nhỏ hơn 1).

3. Các bước vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm (có ví dụ minh họa)

Chúng ta hãy đi vào từng bước cụ thể với ví dụ minh họa dễ hiểu:

Bước 1: Thu nhập và phân nhóm số liệu

Giả sử bạn có bảng điểm kiểm tra toán của 40 học sinh (dưới dạng điểm từ 0 đến 10). Để thuận tiện theo dõi, ta phân nhóm thành các lớp sau:

- 0 ≤ điểm < 3

- 3 ≤ điểm < 5

- 5 ≤ điểm < 7

- 7 ≤ điểm < 9

- 9 ≤ điểm ≤ 10

Bước 2: Lập bảng tần số và tần số tương đối

Sau khi thống kê, bạn đếm số học sinh đạt điểm trong từng khoảng và lập bảng như sau:

| Lớp điểm | Tần số ($n_i$) | Tần số tương đối ($f_i$) |

|---------------- | ------------ | ------------------------------- |

| 0 ≤ điểm < 3 | 2 |$\frac{2}{40} = 0,05$|

| 3 ≤ điểm < 5 | 8 |$\frac{8}{40} = 0,20$|

| 5 ≤ điểm < 7 | 20 |$\frac{20}{40} = 0,50$|

| 7 ≤ điểm < 9 | 7 |$\frac{7}{40} = 0,175$|

| 9 ≤ điểm ≤ 10 | 3 |$\frac{3}{40} = 0,075$|

Bước 3: Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

Chúng ta sử dụng biểu đồ cột hoặc biểu đồ hình chữ nhật (= hình histogram). Các bước thực hiện:

- Trục hoành (Ox): biểu diễn các lớp điểm đã phân nhóm.

- Trục tung (Oy): giá trị lấy từ tần số tương đối của mỗi lớp (phía trên đã tính được).

- Kẻ các cột hình chữ nhật với chiều cao tương ứng là tần số tương đối của mỗi lớp, đáy của mỗi cột ứng với từng lớp điểm.

Ví dụ, cột đầu tiên (0 ≤ điểm < 3) sẽ cao 0,05 đơn vị (có thể chuyển sang phần trăm = 5%), còn cột lớn nhất ứng với lớp (5 ≤ điểm < 7), cao 0,50 đơn vị (= 50%).

Minh họa sơ đồ

| | | | | |
| | | | | |
0,5 ---------------------------------------------- |
| |
0,4 ------------------------------------------ |
| |
0,3 --------------------------------- |
| |
0,2 -------------------- |
| |
0,1 ----- |
| * |
0 | | | | | | | | | | | | | | | | |
0-3 3-5 5-7 7-9 9-10 (Các lớp điểm)
(Hình trên chỉ mang tính minh họa, bạn nên sử dụng giấy vẽ hoặc phần mềm để vẽ chính xác tỉ lệ và các cột).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Chú ý chia nhóm đều nhau (chiều rộng các lớp bằng nhau) để đảm bảo biểu đồ chính xác, nếu không phải hiệu chỉnh chiều cao từng cột theo tỉ lệ.
- Nếu tổng tần số tương đối không đúng bằng 1 (hoặc 100%), kiểm tra lại phép tính chia$n_i/N$.
- Nên ghi chú đầy đủ các trục, đơn vị và tên các lớp để tránh nhầm lẫn.
- Nếu số liệu phân bố không đều, các cột có thể có chiều cao rất chênh lệch, nên chọn chia nhóm hợp lý (không quá ít cũng không quá nhiều nhóm).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm có liên hệ mật thiết với các khái niệm sau:

Các biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm là một bước quan trọng để chuyển từ dữ liệu thô sang nhận xét, đánh giá thực tiễn và kết luận. Biểu đồ giúp mô tả sự phân bố số liệu một cách trực quan, dễ hiểu.

6. Bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

Bài tập 1: Một lớp học có 36 học sinh, điểm kiểm tra môn Văn được chia các nhóm sau: 0 ≤ x < 4: 3 bạn; 4 ≤ x < 6: 9 bạn; 6 ≤ x < 8: 20 bạn; 8 ≤ x ≤ 10: 4 bạn. Hãy lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm.

Giải:

- Lập bảng:

| Lớp điểm | 0 ≤ x < 4 | 4 ≤ x < 6 | 6 ≤ x < 8 | 8 ≤ x ≤ 10 |
|:-----------------:|:---------:|:---------:|:---------:|:----------:|
| Tần số | 3 | 9 | 20 | 4 |
| Tần số tương đối | 0,083 | 0,25 | 0,556 | 0,111 |

Vẽ biểu đồ: Dựng trục hoành chia 4 phần tương ứng với các lớp điểm, dựng các cột hình chữ nhật có chiều cao lần lượt là 0,083; 0,25; 0,556; 0,111.

Bài tập 2: Tự luyện – Dữ liệu sau đã được ghép nhóm với số liệu như sau: 2-4: 5 lần; 4-6: 10 lần; 6-8: 12 lần; 8-10: 3 lần; tổng số: 30 lần. Hãy vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm cho số liệu này.

Gợi ý: Học sinh tự tính$f_i$cho từng lớp theo$f_i = \frac{n_i}{N}$, sau đó vẽ biểu đồ như hướng dẫn ở trên.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm là công cụ trực quan hóa sự phân bố của dữ liệu đã được ghép thành các nhóm (lớp).
- Các bước vẽ gồm: phân nhóm – tính tần số/tần số tương đối – vẽ biểu đồ cột.
- Giúp dễ dàng nhận biết lớp có số liệu cao nhất, thấp nhất hoặc sự phân bố đồng đều/chênh lệch.
- Luôn kiểm tra tổng tần số tương đối phải bằng 1 hoặc 100%.
- Phát triển kỹ năng xử lý thống kê và phân tích dữ liệu cho học sinh THCS.