Blog

Lớp 9

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, phần Hình học liên quan đến đường tròn là một chủ đề quan trọng, cung cấp nền tảng cho kiến thức hình học giải tích và hình học không gian ở các lớp trên. Một trong những kiến thức trọng tâm là xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Hiểu rõ về vị trí tương đối giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tiếp tuyến, khoảng cách từ điểm đến đường tròn, các bài toán dựng hình hay chứng minh hình học.

2. Định nghĩa chính xác về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn(C):(O;R)(C): (O; R)có tâmOOvà bán kínhRR, đường thẳngdd. Vị trí tương đối của đường thẳngddvà đường tròn(C)(C)phụ thuộc vào khoảng cách từ tâmOO đến đường thẳngdd, ký hiệu là d(O,d)d(O, d), và bán kínhRR.

  • Nếud(O,d)>Rd(O, d) > R: Đường thẳngddnằm ngoài đường tròn(C)(C), không cắt đường tròn.
  • Nếud(O,d)=Rd(O, d) = R: Đường thẳngddtiếp xúc với đường tròn(C)(C), hay còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn.
  • Nếud(O,d)<Rd(O, d) < R: Đường thẳngddcắt đường tròn(C)(C)tại hai điểm phân biệt.

    • 3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

    Cho đường tròn(C):(O;3)(C): (O; 3)có tâmO(1;2)O(1; 2), bán kínhR=3R = 3. Xét đường thẳngd:x+2y−6=0d: x + 2y - 6 = 0. Hãy xác định vị trí tương đối củaddvà (C)(C).

    Bước 1: Tính khoảng cách từ tâmO(1;2)O(1; 2) đến đường thẳngd:x+2y−6=0d: x + 2y - 6 = 0:

    d(O, d) = \frac{|1 + 2\cdot2 - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 4 -6|}{\sqrt{5}} = \frac{|-1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,45

    Bước 2: So sánhd(O,d)d(O, d)vớiRR.

    Vì 0,45<30,45 < 3nênd(O,d)<Rd(O, d) < R. Do đó, đường thẳngddcắt đường tròn(C)(C)tại hai điểm phân biệt.

    Ví dụ 2: Trường hợp tiếp tuyến

    Cho đường tròn(C):(O;2)(C): (O; 2)tâmO(0;0)O(0; 0)và đường thẳngd:x−y+2=0d: x - y + 2 = 0. Tính vị trí tương đối giữaddvà (C)(C).

    d(O, d) = \frac{|0 - 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41

    Vì 1,41<21,41 < 2nên d cắt(C)(C)tại hai điểm.

    Giả sử xét đường thẳng d′:x−y+2 2=0d': x - y + 2\,\sqrt{2} = 0 thì:

    d(O, d') = \frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 +(-1)^2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2

    Khi đó,d(O,d′)=Rd(O, d') = R. Suy rad′d'là tiếp tuyến của đường tròn(C)(C).

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu đường thẳng đi qua tâmOOcủa đường tròn thì d(O,d)=0<Rd(O, d) = 0 < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng qua tâmOO.
  • Nếud(O,d)=Rd(O, d) = Rthì đường thẳng cắt đường tròn tại đúng một điểm, gọi là tiếp điểm, và khi đó là tiếp tuyến.
  • Cần lưu ý khi so sánhd(O,d)d(O, d)và RR, chú ý đơn vị đo lường và độ chính xác khi tính toán.
  • Đôi khi đề bài cho phương trình đường tròn và đường thẳng ở dạng tổng quát, cần chuyển về dạng chuẩn để tính tâm và bán kính.

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Tiếp tuyến: Khái niệm vị trí tương đối là nền tảng để xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
  • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Tính khoảng cách từ tâmOO đến đường thẳngddlà ứng dụng trực tiếp.
  • Tập nghiệm phương trình: Khi giải hệ phương trình
    {x2+y2=R2ax+by+c=0\begin{cases} x^2 + y^2 = R^2 \\ax + by + c = 0 \\\end{cases}
    , số nghiệm thực thể hiện số giao điểm, tức là vị trí tương đối.

    • 6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1

    Cho đường tròn(C)(C):(x−2)2+(y+3)2=25(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25. Xét đường thẳngd:3x−4y−5=0d: 3x - 4y - 5 = 0. Xác định vị trí tương đối giữaddvà (C)(C).

    TâmO(2,−3)O(2, -3);R=5R=5.
    Khoảng cách từ OO đếndd:

    d(O, d) = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 - 5|}{5} = \frac{13}{5} = 2,6

    So sánh2,6<52,6 < 5nênddcắt(C)(C)tại hai điểm phân biệt.

    Bài tập 2

    Cho đường tròn(C):x2+y2=4(C): x^2 + y^2 = 4. Tìmkk để đường thẳngd:y=kx+2d: y = kx + 2là tiếp tuyến của(C)(C).

    Đổi thànhkx−y+2=0kx - y + 2 = 0. TâmO(0,0)O(0,0);R=2R=2.

    d(O, d) = \frac{|2|}{\sqrt{k^2 + 1}}

    Vì ddlà tiếp tuyến nênd(O,d)=Rd(O, d) = R: 2k2+1=2  ⟹  k2+1=1  ⟹  k2=0  ⟹  k=0.\frac{2}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2 \implies \sqrt{k^2 + 1} = 1 \implies k^2 = 0 \implies k = 0.

    Vậyk=0k = 0, tứcd:y=2d: y = 2là tiếp tuyến của(C)(C).

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Không xác định đúng tâm và bán kính của đường tròn vì quên đổi sang dạng chuẩn.
  • Tính khoảng cáchd(O,d)d(O, d)bị sai dấu hoặc sai công thức.
  • So sánh sai giữad(O,d)d(O, d)và RR, dẫn đến kết luận nhầm về vị trí tương đối.
  • Khi giải hệ phương trình, cần kiểm tra kỹ số nghiệm thực để xác định đúng số giao điểm.

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

    - Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn phụ thuộc vào khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính.
    - Ba vị trí có thể: Đường thẳng nằm ngoài (không cắt), tiếp xúc (tiếp tuyến), hoặc cắt (hai điểm).
    - Luôn xác định đúng tâm, bán kính và tínhd(O,d)d(O, d)cẩn thận để tránh nhầm lẫn.
    - Vấn đề này liên quan nhiều đến kiến thức về tiếp tuyến và khoảng cách trong hình học.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".