Vị trí tương đối của hai đường tròn: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 9, hình học là một mảng kiến thức quan trọng giúp xây dựng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Trong đó, "vị trí tương đối của hai đường tròn" là một chủ đề quen thuộc, thường gặp trong các đề kiểm tra, đề thi học kì và các kỳ thi vào lớp 10. Nắm vững khái niệm này không chỉ giúp học sinh giải tốt dạng bài tập về đường tròn mà còn là nền tảng để học tốt các kiến thức hình học nâng cao sau này.

2. Định nghĩa vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho hai đường tròn phân biệt: (O; R) và (O'; r) có tâm lần lượt là O, O' và bán kính R, r ($R \, { \geq } \, r > 0$). Khoảng cách giữa hai tâm được ký hiệu là $OO' = d$. "Vị trí tương đối của hai đường tròn" là cách mô tả số điểm chung của hai đường tròn, hoặc cách chúng nằm so với nhau trên mặt phẳng.

Có 5 vị trí tương đối chính của hai đường tròn dựa trên d, R và r:

• Hai đường tròn cắt nhau
• Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
• Hai đường tròn tiếp xúc trong
• Hai đường tròn nằm ngoài nhau
• Hai đường tròn nằm trong nhau mà không tiếp xúc

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy xét hai đường tròn (O; R) và (O'; r). Để xác định vị trí tương đối, ta cần biết 3 đại lượng:$R$,$r$,$d = OO'$. Dưới đây là từng trường hợp cụ thể:

A. Hai đường tròn cắt nhau (Có 2 điểm chung)

Điều kiện:$|R - r| < d < R + r$

Ví dụ:

Cho (O; 4), (O'; 3) và $OO' = 5$.

- Ta có:$|4-3| = 1 < 5 < 7 = 4 + 3$→ Hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.

B. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài (Có 1 điểm chung – tiếp xúc ngoài)

Điều kiện:$d = R + r$

Ví dụ:

Cho (O; 5), (O'; 2) và $OO' = 7$.

-$5 + 2 = 7$nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại một điểm.

C. Hai đường tròn tiếp xúc trong (Có 1 điểm chung – tiếp xúc trong)

Điều kiện:$d = |R - r|$($d \neq 0$vì hai tâm phân biệt)

Ví dụ:

Cho (O; 6), (O'; 4) với$OO' = 2$.

-$|6 - 4| = 2 = OO'$, vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại một điểm.

D. Hai đường tròn nằm ngoài nhau (Không có điểm chung)

Điều kiện:$d > R + r$

Ví dụ:

Cho (O; 3), (O'; 2) với$OO' = 6$.

-$3 + 2 = 5 < 6$
→ Hai đường tròn nằm ngoài nhau, không có điểm chung.

E. Hai đường tròn nằm trong nhau nhưng không tiếp xúc

Điều kiện:$0 < d < |R - r|$

Ví dụ:

Cho (O; 5), (O'; 2) và $OO' = 2$.

-$|5 - 2| = 3 > 2 > 0$
- Ta xét lại điều kiện: ở đây$2<3$nên thuộc dạng đường tròn nằm trong nhau nhưng không tiếp xúc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu$O \, \equiv \, O'$(hai tâm trùng nhau) và $R \neq r$thì hai đường tròn đồng tâm nhưng không trùng nhau, không có điểm chung.
- Nếu$R = r$và $O \equiv O'$tức là hai đường tròn trùng nhau hoàn toàn.

Lưu ý:
- Khi hai đường tròn cắt nhau, số điểm chung luôn là 2.
- Khi tiếp xúc (ngoài hoặc trong), số điểm chung là 1.
- Nằm ngoài hoặc nằm trong nhau, số điểm chung là 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vị trí tương đối của hai đường tròn có liên quan mật thiết đến các khái niệm như tiếp tuyến, cung, dây cung, đường kính, khoảng cách,… Kiến thức này là cơ sở để làm bài về:
- Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Tính diện tích phần chung của hai đường tròn
- Bài toán về giao điểm, xúc tiếp giữa các hình.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:
Cho đường tròn (O; 4), đường tròn (O'; 2) với$OO' = 5$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải:
-$R = 4, r = 2, d = 5$
-$R + r = 6$,$|R - r| = 2$
-$|R - r| < d < R + r$nghĩa là $2 < 5 < 6$
Vậy hai đường tròn cắt nhau tại 2 điểm.

Bài tập 2:
Cho (O; 3), (O'; 1) với$OO' = 2$

-$R + r = 4$,$|R - r| = 2$
-$d = |R - r|$nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Bài tập 3:
Cho (O; 7), (O'; 2) với$OO' = 12$
-$R + r = 9$;$d = 12 > 9$
Vậy hai đường tròn nằm ngoài nhau, không có điểm chung.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong: Phải kiểm tra so sánh d với$R + r$(tiếp xúc ngoài) hay$|R - r|$(tiếp xúc trong).
- Quên điều kiện$d > 0$cho hai tâm phân biệt.
- Không để ý đến trường hợp đồng tâm, đường tròn trùng nhau.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

• Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, ta cần 3 đại lượng: hai bán kính$R, r$và khoảng cách giữa hai tâm$d$.
• 5 vị trí tương đối gồm: cắt nhau, tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong, nằm ngoài nhau, nằm trong nhau không tiếp xúc.
• Chỉ cần nhớ các điều kiện so sánh giữa$d, R + r, |R - r|$.
• Cẩn thận với các trường hợp đặc biệt: đồng tâm, trùng nhau.

Luyện tập các bài tập thường xuyên sẽ giúp học sinh nắm chắc và vận dụng thành thạo lý thuyết vào thực hành, đồng thời tránh được những lỗi cơ bản.