Blog

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
4 phút đọc
Chia sẻ:
4 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một kiến thức quan trọng giúp các em hiểu rõ mối quan hệ giữa hai yếu tố hình học này.

- Khái niệm: xác định xem đường thẳng không giao, tiếp xúc hay cắt đường tròn.

- Tại sao cần hiểu rõ: giúp giải các bài toán về tiếp tuyến, cắt nhau và tính góc, khoảng cách.

- Ứng dụng thực tế: trong kỹ thuật xây dựng, thiết kế mạch điện, đồ họa máy tính…

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Để xác định vị trí tương đối, ta cần hiểu các khái niệm sau:

- TâmI(x0,y0)I(x_0,y_0)và bán kínhrrcủa đường tròn.

- Phương trình tổng quát của đường thẳngax+by+c=0ax+by+c=0.

Định lý quan trọng: khoảng cách từ tâmII đến đường thẳng là

d=ax0+by0+ca2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Dựa vào giá trị ddso vớirr, ta xác định được vị trí tương đối.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cần thuộc lòng:

- Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng: d=ax0+by0+ca2+b2d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

- Điều kiện không giao nhau (xa nhau):d>rd > r.

- Điều kiện tiếp xúc (đường thẳng tiếp tuyến):d=rd = r.

- Điều kiện cắt nhau (hai điểm chung):d<rd < r.

Mẹo ghi nhớ: so sánhddrrgiống như so sánh độ cao một điểm đến bán kính.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn(C)(C): tâmI(2,1)I(2,1), bán kínhr=3r=3và đường thẳngdd:2xy+1=02x - y + 1 = 0. Xác định vị trí tương đối củadd(C)(C).

Bước 1: Tính khoảng cách từ II đếndd:

dI=2211+122+(1)2=41+15=451,79.d_I = \frac{|2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 -1 +1|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1{,}79.

Bước 2: So sánh vớir=3r=3: vì 1,79<31{,}79 < 3, nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

Kết luận:dd(C)(C)cắt nhau.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho đường tròn(C)(C)có phương trình(x1)2+(y+2)2=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4và đường thẳngdd:x+y1=0x + y - 1 = 0. Xác định vị trí tương đối và tìm tọa độ tiếp điểm nếu có.

Bước 1: Tìm tâm và bán kính:I(1,2)I(1,-2),r=2r=2.

Bước 2: Tính khoảng cách:

dI=1+(2)112+12=22=22=21,41.d_I = \frac{|1 + (-2) -1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41.

So sánh vớir=2r=2:1,41<21{,}41 < 2, nênddcắt(C)(C)tại hai điểm. Sử dụng phương pháp hệ phương trình để tìm giao điểm.

Kết quả: giao điểm là A(1,0)A(1,0)B(0,1)B(0,1).

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng đi qua tâm: khic=ax0by0c = -ax_0 - by_0, ta có d=0<rd=0<rnên cắt nhau.

- Đường thẳng song song trục tọa độ: dễ tính nhanh hệ số a,ba,b.

- Trường hợp trung gian: làm quy đồng mẫu để so sánh chính xác.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm tâm và bán kính đường tròn.

- Nhầm công thức khoảng cách: quên trị tuyệt đối hoặc căn bậc hai.

5.2 Lỗi về tính toán

- Tính sai mẫu số a2+b2\sqrt{a^2+b^2} do phép căn không đúng.

- So sánh nhầm giữaddrrdo sai số làm tròn.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức để nâng cao kỹ năng và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Checklist trước khi làm bài:

- Xác định đúng tâmI(x0,y0)I(x_0,y_0)và bán kínhrr.

- Viết phương trình đường thẳngax+by+c=0ax+by+c=0chuẩn xác.

- Tính d=ax0+by0+ca2+b2d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}và so sánh vớirr.

- Quyết định vị trí:d>rd>r(không giao),d=rd=r(tiếp xúc),d<rd<r(cắt nhau).

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".