Blog

Vị trí tương đối của hai đường tròn: Khái niệm và ứng dụng

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm Vị trí tương đối của hai đường tròn trong chương trình toán học lớp 9 mô tả mối quan hệ giữa hai đường tròn dựa trên khoảng cách giữa hai tâm và bán kính của chúng.

Việc hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh phân tích và giải quyết các bài toán hình học liên quan đến đường tròn, từ đó phát triển tư duy logic và kỹ năng giải toán.

Ứng dụng thực tế: Trong kỹ thuật, thiết kế cơ khí, kiến trúc và đồ họa máy tính, việc xác định mối quan hệ giữa hai đường tròn là bước quan trọng để kiểm tra sự giao nhau, tiếp xúc hay tách rời của các bộ phận hình tròn.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Cho hai đường tròn(O1,r1)(O_1,r_1)(O2,r2)(O_2,r_2), gọid=O1O2d = O_1O_2là khoảng cách giữa hai tâm.

Tính chất chính:

- Nếud>r1+r2d > r_1 + r_2thì hai đường tròn nằm ngoài, không tiếp xúc.

- Nếud=r1+r2d = r_1 + r_2thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

- Nếur1r2<d<r1+r2|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

- Nếud=r1r2d = |r_1 - r_2|thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếud<r1r2d < |r_1 - r_2|thì một đường tròn nằm trong đường tròn kia, không tiếp xúc.

Điều kiện áp dụng: Công thức trên áp dụng cho hai đường tròn bất kỳ, trong mặt phẳng Oxy.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần nhớ:

- Khoảng cách giữa hai tâm: d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

- Tổng bán kính:r1+r2r_1 + r_2.

- Hiệu bán kính:r1r2|r_1 - r_2|.

Cách ghi nhớ: Liên tưởng tổng bán kính ứng với tiếp xúc ngoài, hiệu bán kính ứng với tiếp xúc trong.

Điều kiện sử dụng từng công thức được nêu rõ trong mục lý thuyết cơ bản.

Biến thể: Với đường tròn đồng tâm (d=0d=0), ta chỉ so sánhr1r_1r2r_2 để xác định vị trí.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho hai đường tròn(O1,r1)(O_1,r_1)vớiO1(0,0),r1=3O_1(0,0),r_1=3(O2,r2)(O_2,r_2)vớiO2(5,0),r2=2O_2(5,0),r_2=2. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai tâm: d=(50)2+(00)2=5d = \sqrt{(5-0)^2+(0-0)^2} = 5.

Bước 2: Tính tổng và hiệu bán kính:r1+r2=3+2=5r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5,r1r2=1|r_1 - r_2| = 1.

Bước 3: So sánh:d=5=r1+r2d = 5 = r_1 + r_2, do đó hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Lưu ý: Luôn sắp xếp đúng thứ tự tínhdd,r1+r2r_1+r_2,r1r2|r_1-r_2|trước khi so sánh.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho hai đường tròn(O1,r1)(O_1,r_1)vớiO1(0,0),r1=5O_1(0,0),r_1=5(O2,r2)(O_2,r_2)vớiO2(4,3),r2=2O_2(4,3),r_2=2. Xác định vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có.

Bước 1: Tính d=42+32=5d = \sqrt{4^2+3^2} = 5.

Bước 2:r1+r2=7r_1 + r_2 = 7,r1r2=3|r_1 - r_2| = 3. Vì 3<5<73 < 5 < 7, hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

Bước 3: Tìm giao điểm bằng phương pháp hệ phương trình:

+ Phương trình 1:x2+y2=25x^2+y^2=25.

+ Phương trình 2:(x4)2+(y3)2=4(x-4)^2+(y-3)^2=4.

+ Lấy hiệu hai phương trình và giải để tìm tọa độ giao điểm.

Kỹ thuật giải nhanh: Sử dụng phép trừ để loại bình phương, giảm số hạng và tìmx,yx,ydễ dàng.

4. Các trường hợp đặc biệt

Đường tròn đồng tâm (d=0d=0):

- Nếur1=r2r_1 = r_2thì hai đường tròn trùng nhau (vô số điểm chung).

- Nếur1r2r_1 \neq r_2thì một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong đường tròn kia, không tiếp xúc.

Các trường hợp ngoại lệ khác thường liên quan đến sai số tính toán trong việc xác địnhdd.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai định nghĩadd,r1+r2r_1+r_2r1r2|r_1-r_2|.

- Nhầm lẫn giữa tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài.

- Bỏ qua trường hợp đường tròn đồng tâm.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi tính (x2x1)2+(y2y1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

- Nhầm lẫn dấu trừ trongr1r2|r_1-r_2|.

- Không kiểm tra lại kết quả sau khi so sánh.

Phương pháp kiểm tra: Luôn đánh dấu lại các giá trị dd,r1+r2r_1+r_2,r1r2|r_1-r_2|và kiểm tra tính hợp lý.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính cần nhớ:

- Khoảng cách giữa hai tâmddvà tổng, hiệu bán kínhr1+r2r_1+r_2,r1r2|r_1-r_2|.

- Điều kiện xác định vị trí tương đối: tách rời, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong, bao chứa.

- Các trường hợp đặc biệt: đồng tâm, trùng nhau.

Checklist trước khi làm bài: 1) Tínhdd, 2) Tínhr1+r2r_1+r_2, 3) Tínhr1r2|r_1-r_2|, 4) So sánh.

Kế hoạch ôn tập: ôn lý thuyết, giải bài tập mẫu, tự kiểm tra với bộ đề online.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".