1. Giới thiệu và tầm quan trọng:

Khái niệm “Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác” nằm trong chương trình Toán lớp 9, giúp học sinh hiểu cách xác định vị trí trung tâm và kích thước của đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này:

- Giúp giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác và đường tròn.

- Là nền tảng để học các chương hình học cao hơn.

Ứng dụng thực tế:

- Thiết kế kiến trúc: xác định tâm đường cong.

- Kỹ thuật: đo bán kính quỹ đạo chuyển động.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững:

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

- Bán kính$R$là khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh tam giác.

- Định lý đường trung trực: Mọi điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu đoạn đó.

- Áp dụng cho mọi tam giác (nhưng với tam giác thẳng góc, tâm nằm ở trung điểm cạnh huyền).

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:

- Tâm$O$là giao điểm hai đường trung trực.

- Bán kính:$R = \frac{abc}{4\Delta},$trong đó $a,b,c$là độ dài ba cạnh,$\Delta$là diện tích tam giác.

Cách ghi nhớ công thức hiệu quả:

- Nhớ tỉ lệ: tích ba cạnh chia bốn lần diện tích.

Điều kiện sử dụng công thức:

- Tam giác có diện tích$\Delta>0$(ba điểm không thẳng hàng).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tam giác$ABC$có $A(0,0)$,$B(6,0)$và $C(0,8)$. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1: Tìm trung điểm hai cạnh:

- Trung điểm$AB$:$M_{AB}\bigl(\frac{0+6}{2},\frac{0+0}{2}\bigr)=(3,0)$.

- Trung điểm$AC$:$M_{AC}\bigl(\frac{0+0}{2},\frac{0+8}{2}\bigr)=(0,4)$.

Bước 2: Viết phương trình hai đường trung trực:

- Đường trung trực$AB$: vuông góc với$AB$(nằm ngang), nên$x=3$.

- Đường trung trực$AC$: vuông góc với$AC$(nằm dọc), nên$y=4$.

Giao điểm của hai đường là $O(3,4)$.

Bước 3: Tính bán kính:

$R = OA = \sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} = 5.$

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho tam giác có độ dài các cạnh$a=7$,$b=8$,$c=9$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1: Tính nửa chu vi:$p=\frac{7+8+9}{2}=12$.

Bước 2: Tính diện tích:

$\Delta = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = 6\sqrt{20}.$

Bước 3: Tính bán kính:

$R = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 6\sqrt{20}} = \frac{21\sqrt{20}}{20}.$

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác vuông: tâm là trung điểm cạnh huyền, R=\frac{\text{cạnh huyền}}{2} .

- Tam giác cân: tâm nằm trên đường cao ứng với đáy.

- Tam giác đều: tâm trùng trọng tâm, $R=\frac{a}{\sqrt3}$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm đường trung trực với đường trung tuyến.

- Nhầm tâm ngoại tiếp với tâm nội tiếp.

5.2 Lỗi về tính toán

- Áp dụng sai công thức bán kính.

- Sai sót khi tính toán diện tích.

- Kiểm tra lại bằng cách thay tọa độ hoặc kiểm tra tính cách đều các đỉnh.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tâm là giao điểm hai đường trung trực; bán kính$R=\frac{abc}{4\Delta}$.

- Với tam giác vuông: $R=\tfrac{c}{2}$, tam giác đều: $R=\tfrac{a}{\sqrt3}$.

Checklist trước khi làm bài: xác định trung điểm, viết phương trình trung trực, giải hệ, tính$R$.

Kế hoạch ôn tập: luyện ít nhất 10 bài cơ bản, 5 bài nâng cao mỗi tuần.