1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác trong chương trình Toán lớp 9: đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp (gọi là O) là giao điểm của ba đường trung trực các cạnh, bán kính (gọi là R) là khoảng cách từ O đến bất kỳ đỉnh nào của tam giác.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: giúp giải các bài toán hình học về khoảng cách, góc, chứng minh đồng quy và tính toán độ dài hiệu quả.

Ứng dụng thực tế trong học tập và cuộc sống: kiến trúc (xác định tâm đường tròn mái vòm), đồ họa, định vị bản đồ, kỹ thuật thiết kế.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 20 bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh, tâm O là giao điểm các đường trung trực.

- Các định lý và tính chất chính: ba đường trung trực đồng quy tại O; O cách đều ba đỉnh.

- Điều kiện áp dụng và giới hạn: tam giác bất kỳ (nhưng đặc biệt đơn giản khi tam giác vuông, cân, đều).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:$R = \frac{abc}{4S}$, với$a,b,c$là độ dài ba cạnh và $S$là diện tích tam giác.

- Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$.

- Cách ghi nhớ hiệu quả: liên kết công thức$R=\tfrac{abc}{4S}$với công thức diện tích và tính chất đồng quy của đường trung trực.

- Điều kiện sử dụng từng công thức: công thức$R=\tfrac{abc}{4S}$ áp dụng cho mọi tam giác không suy biến; với tam giác vuông, dùng công thức$R=\tfrac{BC}{2}$.

- Các biến thể của công thức: tam giác đều $R=\tfrac{a}{\sqrt{3}}$, tam giác cân thân thiện hơn khi biết hai cạnh bên hoặc góc tại đỉnh.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho tam giác$ABC$có $AB=3$,$AC=4$,$BC=5$. Tính tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:
Bước 1: Ta thấy$AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = BC^2$, nên tam giác$ABC$vuông tại$A$.
Bước 2: Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền$BC$. Gọi$O$là trung điểm$BC$.
Bước 3: Bán kính$R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2}$.
Lưu ý: Với tam giác vuông, bạn có thể xác định ngay tâm và bán kính mà không cần tính diện tích.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho tam giác$ABC$có tọa độ $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(1,3)$. Tính tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:
Bước 1: Tìm đường trung trực của $AB$và $AC$.
- Đường trung trực $AB$: trung điểm $M_{AB}\bigl(2,0\bigr)$, $AB$nằm ngang nên đường trung trực là $x=2$.
- Đường trung trực $AC$: trung điểm $M_{AC}\bigl(0.5,1.5\bigr)$, hệ số góc $AC=3$nên đường trung trực có hệ số góc$-\tfrac{1}{3}$, phương trình $y - 1.5 = -\tfrac{1}{3}(x - 0.5).$
Bước 2: Giải hệ hai đường trung trực: từ $x=2$thay vào phương trình trên,$y - 1.5 = -\tfrac{1}{3}(1.5) = -0.5$, suy ra $y=1.0$. Vậy $O(2,1)$.
Bước 3: Tính bán kính: $R = OA = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$.
Lưu ý: Kiểm tra thêm $OB$và $OC$ đều bằng$\sqrt{5}$ để đảm bảo tính chính xác.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác vuông: tâm là trung điểm cạnh huyền,$R=\tfrac{BC}{2}$.

- Tam giác cân: nếu biết đáy và chiều cao, có thể tính diện tích rồi dùng$R=\tfrac{abc}{4S}$.

- Tam giác đều: mọi đường trung trực đồng thời là đường phân giác, $R=\tfrac{a}{\sqrt{3}}$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa đường trung trực và đường phân giác: đường trung trực vuông góc với cạnh và chia đôi cạnh, đường phân giác chia đôi góc.

- Hiểu sai định nghĩa đường tròn ngoại tiếp: cho rằng đường tròn chỉ cần đi qua hai đỉnh là đủ.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong áp dụng công thức: quên lấy diện tích đúng cách hoặc nhầm biến.

- Lỗi tính toán phổ biến: dấu âm, lấy căn sai, bỏ sót điều kiện tam giác.

- Phương pháp kiểm tra kết quả: so sánh khoảng cách từ tâm đến ba đỉnh, đảm bảo bằng nhau.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 20+ bài tập "Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác" miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường trung trực của mỗi cạnh là tập hợp điểm cách đều hai đầu mút cạnh đó.

- Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp.

- Công thức tổng quát:$R = \frac{abc}{4S}$.

- Tam giác vuông:$R=\tfrac{BC}{2}$, tâm là trung điểm cạnh huyền.

- Kiểm tra bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đến ba đỉnh để đảm bảo tính đúng.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: thực hành theo từng dạng, tự kiểm tra, ghi chép lỗi sai và sửa chữa kịp thời.