Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Trong chương trình Toán lớp 9, việc xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là một chủ đề quan trọng của phần Hình học. Kiến thức này không chỉ giúp học sinh nắm vững các tính chất cơ bản của tam giác mà còn là nền tảng cho việc giải các bài toán nâng cao và thực tiễn như xác định khoảng cách, diện tích, bài toán tối ưu,…

Trong thực tế, đường tròn nội tiếp giúp xác định các yếu tố liên quan đến tâm và khoảng cách tới các cạnh của tam giác. Đây cũng là công cụ hiệu quả để chứng minh các tính chất quan trọng hoặc giải các bài toán hình học phức tạp hơn.

2. Định nghĩa chính xác về tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.
- Tâm đường tròn nội tiếp gọi là tâm nội tiếp, ký hiệu là $I$.
- Bán kính đường tròn nội tiếp ký hiệu là $r$.

Tâm nội tiếp$I$là giao điểm của ba đường phân giác trong của các góc của tam giác.$r$là khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh của tam giác.

3. Các bước xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp – Ví dụ minh họa

Giả sử tam giác$ABC$, có ba cạnh$BC = a$,$CA = b$,$AB = c$. Dưới đây là các bước xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp:

Bước 1: Vẽ các đường phân giác

Vẽ hai trong ba đường phân giác trong của các góc của tam giác. Giao điểm của hai đường phân giác này chính là tâm nội tiếp$I$. Để kiểm tra, vẽ đường phân giác còn lại – nó cũng đi qua$I$.

Bước 2: Xác định bán kính$r$

Từ tâm$I$, vẽ đường vuông góc (hạ đường vuông góc) xuống một cạnh (ví dụ $BC$), gọi giao điểm là $D$. Độ dài$ID$chính là bán kính nội tiếp$r$.

Bước 3: Công thức tính bán kính$r$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác$ABC$có công thức:

Trong đó $S$là diện tích tam giác và $p$là nửa chu vi:$p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ví dụ minh họa

Cho tam giác$ABC$với$AB = 13cm$,$BC = 14cm$,$CA = 15cm$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Ta có $a = 14$,$b = 15$,$c = 13$.
Tính nửa chu vi:
$p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21(cm)$

Áp dụng công thức Heron tính diện tích:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-14) \cdot (21-15) \cdot (21-13)} <br />$S = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} \approx 84(cm^2)$

Tính bán kính đường tròn nội tiếp:
$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4(cm)$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Tam giác đều: Tâm nội tiếp trùng với các tâm đường cao, trung tuyến, ngoại tiếp – và đường tròn nội tiếp là duy nhất.
- Tam giác cân: Tâm nội tiếp nằm trên trục đối xứng của tam giác.
- Tam giác vuông: Tâm nội tiếp nằm trong tam giác nhưng không trùng với bất kỳ trực tâm, trọng tâm, hay tâm ngoại tiếp.

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Tâm nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.
- Liên kết với công thức diện tích Heron.
- Tâm nội tiếp khác với tâm ngoại tiếp (là giao điểm ba đường trung trực).

6. Bài tập mẫu và lời giải

Bài 1: Cho tam giác$ABC$có $AB = 8cm$,$AC = 10cm$,$BC = 12cm$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Nửa chu vi $p = \frac{8+10+12}{2} = 15(cm)$.
Diện tích $S = \sqrt{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{1575} \approx 39.7(cm^2)$.
Bán kính $r = \frac{39.7}{15} \approx 2.65(cm)$.

Bài 2: Trong tam giác đều cạnh $a$, chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Diện tích $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, nửa chu vi $p = \frac{3a}{2}$. Vậy $r = \frac{S}{p} = \frac{a^2\sqrt{3}/4}{3a/2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn tâm nội tiếp với trung điểm hoặc các tâm khác của tam giác.
- Chưa tính đúng nửa chu vi hoặc diện tích khi áp dụng công thức bán kính.
- Lệch hướng khi vẽ đường phân giác – cần kiên nhẫn và chính xác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Tâm nội tiếp là giao điểm ba đường phân giác.
- Bán kính đường tròn nội tiếp bằng tỷ số diện tích trên nửa chu vi.
- Hiểu rõ cách vẽ, xác định và áp dụng công thức để tránh nhầm lẫn.
- Nắm chắc các trường hợp đặc biệt và liên hệ lý thuyết vào thực tiễn bài toán.