Xác định tính độc lập của hai biến cố – Hướng dẫn chi tiết lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, xác suất và thống kê chiếm một vị trí quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và khả năng phân tích dữ liệu. Một trong những khái niệm cốt lõi là “tính độc lập của hai biến cố”. Việc hiểu rõ biến cố nào là độc lập giúp học sinh xác định mối quan hệ giữa các sự kiện trong các phép thử ngẫu nhiên và hoàn thiện kỹ năng giải quyết bài toán xác suất.

Khái niệm này không chỉ xuất hiện trong sách giáo khoa mà còn ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như thống kê y sinh, phân tích dữ liệu kinh doanh, mô hình hóa tài chính... Việc nhận biết biến cố độc lập giúp đơn giản hóa công thức tính xác suất tổng hợp và rút gọn các bước tính toán phức tạp.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Cho hai biến cố $A$ và $B$ trong không gian xác suất

(\\Omega, \\mathcal{F}, P)

. Hai biến cố này được gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra đồng thời của chúng bằng tích xác suất của từng biến cố, tức là:

$P(A \ \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Trong trường hợp $P(B)>0$ , điều kiện trên tương đương với:

P(A \\mid B)=\dfrac{P(A \ \cap B)}{P(B)}=P(A)

Tương tự, nếu $P(A)>0$ , ta cũng có

P(B \\mid A)=P(B)

. Hai cách diễn đạt này đều thể hiện rằng khi biết

B

xảy ra thì xác suất

A

xảy ra không thay đổi và ngược lại.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định biến cố $A$ và $B$ . Xác định không gian mẫu và các kết quả thuận lợi cho từng biến cố.

Bước 2: Tính xác suất riêng $P(A)$ , $P(B)$ và xác suất đồng thời $P(A \ \cap B)$ dựa trên quy tắc tính xác suất (đồng đều hoặc dựa vào công thức tổ hợp, hoán vị...).

Bước 3: So sánh $P(A \ \cap B)$ và $P(A) \cdot P(B)$ . Nếu hai giá trị này bằng nhau, biến cố $A$ và $B$ độc lập; ngược lại, chúng phụ thuộc.

Ví dụ 1: Tung một đồng xu và một xí ngầu sáu mặt. Gọi $A$ là biến cố “xu đầu” và $B$ là biến cố “xí ngầu ra mặt chẵn”.

Ta có

P(A)=\\tfrac{1}{2}

P(B)=\\tfrac{3}{6}=\\tfrac{1}{2}

. Không gian mẫu gồm

2\ \times 6=12

kết quả đồng đều, trong đó có

1\ \times 3=3

kết quả vừa “xu đầu” vừa “chẵn”. Do đó

P(A \ \cap B)=\\tfrac{3}{12}=\\tfrac{1}{4}

Và

P(A) \cdot P(B)=\\tfrac{1}{2} \times \\tfrac{1}{2}=\\tfrac{1}{4}

. Vậy

A

và

B

là độc lập.

Ví dụ 2: Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá, gọi $C$ là biến cố “bốc được át” và $D$ là biến cố “bốc được chất cơ”.

P(C)=\\tfrac{4}{52}=\\tfrac{1}{13}

P(D)=\\tfrac{13}{52}=\\tfrac{1}{4}

. Số kết quả vừa át vừa chất cơ là 1 (chỉ có Át cơ), do đó

P(C \ \cap D)=\\tfrac{1}{52}

Kiểm tra:

P(C) \cdot P(D)=\\tfrac{1}{13} \times \\tfrac{1}{4}=\\tfrac{1}{52}=P(C \ \cap D)

. Vậy

C

và

D

cũng độc lập.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

– Hai biến cố đối nhau (mutually exclusive) không thể là độc lập, trừ trường hợp một trong hai biến cố có xác suất bằng 0. Bởi nếu

A\ \cap B=\\varnothing

thì

P(A\ \cap B)=0

nhưng

P(A)P(B)>0

(nếu cả hai đều dương).

– Nếu $P(A)=0$ hoặc $P(B)=0$ , dù $P(A \ \cap B)=0=P(A)P(B)$ , ta thường bỏ qua vì biến cố có xác suất 0 xảy ra gần như không bao giờ xuất hiện trong thực tế mô hình.

– Với nhiều hơn hai biến cố, độc lập toàn phần yêu cầu mọi cặp con biến cố đều độc lập và mọi xác suất đồng thời của bất kỳ tổ hợp nào phải bằng tích xác suất từng biến cố trong tổ hợp đó.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm độc lập gắn chặt với công thức xác suất có điều kiện và quy tắc nhân xác suất. Trong công thức Bayes, nếu $A$ và $B$ độc lập, thì $P(A|B)=P(A)$ , giúp rút gọn biểu thức và giảm độ phức tạp khi tính toán.

Độc lập cũng liên quan đến khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập trong thống kê, phục vụ cho việc xây dựng mô hình xác suất đa biến, phân tích hồi quy và kiểm định giả thuyết.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho một bộ bài 52 lá. Gọi $E$ là biến cố “bốc được lá bài đỏ” và $F$ là biến cố “bốc được lá bài mặt đầm (J, Q, K)”. Kiểm tra xem $E$ và $F$ có độc lập không?

Lời giải:
–

P(E)=\\tfrac{26}{52}=\\tfrac{1}{2}

.
– Số lá đầm đỏ: mỗi chất (cơ, rô) có 3 lá đầm, tổng 6 lá, nên

P(E\ \cap F)=\\tfrac{6}{52}=\\tfrac{3}{26}

.
–

P(F)=\\tfrac{12}{52}=\\tfrac{3}{13}

.
Kiểm tra:

P(E) \cdot P(F)=\\tfrac{1}{2} \times \\tfrac{3}{13}=\\tfrac{3}{26}=P(E\ \cap F)

. Vậy độc lập.

Bài tập 2: Trong hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Gọi $G$ là biến cố “lần rút đầu tiên được bi đỏ” và $H$ là biến cố “lần rút thứ hai được bi đỏ”. Xác định xem $G$ và $H$ có độc lập không.

Lời giải:
–

P(G)=\\tfrac{5}{8}

.
–

P(H\\mid G)=\\tfrac{4}{7}

(còn 4 bi đỏ trong 7 bi).
–

P(G\ \cap H)=P(G)P(H\\mid G)=\\tfrac{5}{8} \times \\tfrac{4}{7}=\\tfrac{5}{14}

.
–

P(H)=\\tfrac{5}{8} \times \\tfrac{4}{7}+\\tfrac{3}{8} \times \\tfrac{5}{7}=\\tfrac{20+15}{56}=\\tfrac{35}{56}=\\tfrac{5}{8}

.
So sánh:

P(G\ \cap H)=\\tfrac{5}{14} \neq P(G) \cdot P(H)=\\tfrac{5}{8} \times \\tfrac{5}{8}=\\tfrac{25}{64}

. Vậy không độc lập.

Bài tập 3: Tung hai đồng xu công bằng độc lập. Gọi $I$ là biến cố “có đúng một mặt ngửa” và $J$ là biến cố “có ít nhất một mặt ngửa”.

Lời giải:
– Không gian mẫu: 4 kết quả {HH, HT, TH, TT}.
–

P(I)=\\tfrac{2}{4}=\\tfrac{1}{2}

P(J)=\\tfrac{3}{4}

P(I\ \cap J)=P(I)=\\tfrac{1}{2}

(vì khi đúng một mặt ngửa chắc chắn có ít nhất một).
Kiểm tra:

P(I) \cdot P(J)=\\tfrac{1}{2} \times \\tfrac{3}{4}=\\tfrac{3}{8} \neq P(I\ \cap J)=\\tfrac{1}{2}

. Vậy không độc lập.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

– Nhầm lẫn giữa biến cố đối nhau và độc lập: hai biến cố đối nhau thường không thể cùng xảy ra, trong khi độc lập đề cập đến tính chất xác suất đồng thời.
– Bỏ qua điều kiện $P(B)>0$ khi áp dụng công thức xác suất có điều kiện.
– Không tính chính xác $P(A\ \cap B)$ dẫn đến so sánh sai.
– Áp dụng lại kết quả của biến cố không đồng đều (không đồng đều trong không gian mẫu) mà không điều chỉnh trọng số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nếu và chỉ nếu $P(A\ \cap B)=P(A)P(B)$ .
• Tương đương với $P(A|B)=P(A)$ khi $P(B)>0$ .
• Biến cố đối nhau (mutually exclusive) không đồng nghĩa với độc lập trừ trường hợp xác suất bằng 0.
• Kiểm tra độc lập cần tính đúng $P(A)$ , $P(B)$ và $P(A\ \cap B)$ .
• Khái niệm mở rộng cho nhiều biến cố: cần thỏa mãn điều kiện cho mọi cặp và mọi tổ hợp con.
• Ứng dụng rộng trong thống kê, mô hình hóa và tính toán xác suất đặt điều kiện.

Blog

Xác định tính độc lập của hai biến cố – Hướng dẫn chi tiết lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi