Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử: Giải thích chi tiết

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, hàm phân thức là một trong những kiến thức quan trọng, đặc biệt là khi tử có bậc cao hơn mẫu. Việc hiểu rõ tính chất và cách xử lý các hàm này giúp học sinh giải quyết bài toán liên quan đến giới hạn, tiệm cận và khảo sát hàm số một cách chính xác.

2. Định nghĩa chính xác

Hàm phân thức được định nghĩa là một hàm có dạng $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ với $p(x)$ và $q(x)$ là đa thức và $q(x)<br>eq0$. Khi bậc của đa thức tử $p(x)$ lớn hơn bậc của đa thức mẫu $q(x)$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để khảo sát hàm phân thức khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu, ta thực hiện chia đa thức (phép chia Euclid). Kết quả thu được một đa thức thương và một phần dư:

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=M(x)+\frac{R(x)}{q(x)},$

trong đó $M(x)$ là đa thức thương và $R(x)$ là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc $q(x)$

Ví dụ: Xét hàm $f(x)=\frac{2x^2+3x+1}{x-1}$ Thực hiện phép chia:

$2x^2+3x+1=(2x+5)(x-1)+6$

Do đó:

$f(x)=2x+5+\frac{6}{x-1}.$

Khi $x\to \pm \infty$, thành phần phân thức nhỏ đi và hàm số tiệm cận đường thẳng $y=2x+5$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu bậc$p(x)$và bậc$q(x)$chênh lệch đúng 1 thì tiệm cận là đường thẳng (tuyến tính).
- Nếu chênh lệch lớn hơn 1 thì tiệm cận là đa thức bậc cao hơn.
- Luôn xác định miền xác định của$f(x)$bằng cách giải$q(x)=0$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kiến thức về hàm phân thức liên quan chặt chẽ tới giới hạn hàm số, tiệm cận ngang/xiên, khảo sát sự biến thiên và tích phân vô hạn.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Tìm tiệm cận của hàm số $f(x)=\frac{x^3-2x+1}{x+2}$. Giải:

Chia đa thức:$x^3-2x+1=(x^2-2x+2)(x+2)-3$Suy ra:$f(x)=x^2-2x+2-\frac{3}{x+2}.$Khi$x\to \pm \infty$, tiệm cận là parabol $y=x^2-2x+2$

Bài tập 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f(x)=\frac{3x^2+4x-1}{x-3}$. Giải:

1) Chia đa thức:$3x^2+4x-1=(3x+13)(x-3)+38$Suy ra:$f(x)=3x+13+\frac{38}{x-3}.$ 2) Tiệm cận: đường thẳng $y=3x+13$. Khảo sát dấu, đạo hàm, đồ thị chi tiết.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xác định miền xác định (điểm làm mẫu bằng 0).
- Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.
- Không chia đúng đa thức dẫn đến sai kết quả.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử được xử lý bằng phép chia đa thức.
- Kết quả cho ta đa thức thương (tiệm cận) và phần dư.
- Tiệm cận có dạng đa thức cùng bậc chênh lệch.
- Luôn lưu ý miền xác định và giá trị gây sai số.