Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – Hướng dẫn chi tiết Toán 12

Trong chương trình Giải tích lớp 12, khái niệm tính đơn điệu và điểm cực trị của hàm số đóng vai trò then chốt trong việc khảo sát và tối ưu hóa hàm số. Việc nắm chắc nội dung này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán thực tiễn như tìm tối ưu chi phí, lợi nhuận, khoảng cách tối ưu,…

Khái niệm này không chỉ là nền tảng cho các bài toán khảo sát hàm số mà còn là bước chuẩn bị quan trọng cho các chủ đề nâng cao trong Giải tích và Ứng dụng toán học ở Đại học.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) cho biết chiều tăng giảm của hàm số trên từng khoảng. Điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) là những điểm quan trọng giúp xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ của hàm số. Trong nhiều ứng dụng thực tế, ta thường cần xác định điểm tối ưu này để đưa ra quyết định chính xác.

2. Định nghĩa

Một hàm số $f$xác định và có đạo hàm trên khoảng$I$ được gọi là:

- Đồng biến trên$I$nếu với mọi$x_1<x_2$đều có$f'(x)\ge 0$(thường lấy$>0$ để xác định đồng biến mạnh).

- Nghịch biến trên$I$nếu với mọi$x_1<x_2$đều có$f'(x)\le 0$(thường lấy$<0$ để xác định nghịch biến mạnh).

Điểm$x_0 \in I$là điểm cực đại (cực tiểu) cục bộ của$f$nếu$f'(x_0)=0$và $f'$ đổi dấu từ dương sang âm (âm sang dương) qua$x_0$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để khảo sát tính đơn điệu và xác định cực trị, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm$f'(x)$. Bước 2: Giải phương trình$f'(x)=0$và xác định điểm khả vi. Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của$f'(x)$trên các khoảng chia bởi nghiệm. Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.

Ví dụ: Xét hàm số $f(x)=x^3-3x+1\,,$xác định tính đơn điệu và điểm cực trị.

Ta có $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\,.$Giải$f'(x)=0\Leftrightarrow x= \pm 1\,.$

Bảng xét dấu của$f'(x)$:
- Trên$(-\infty,-1)$:$f'(x)>0$→ đồng biến.
- Trên$(-1,1)$:$f'(x)<0$→ nghịch biến.
- Trên$(1,+\infty)$:$f'(x)>0$→ đồng biến.

Kết luận:$x=-1$là điểm cực đại,$x=1$là điểm cực tiểu của hàm số.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$f'(x)=0$trên cả một khoảng, hàm có thể là hằng (không đổi).
- Khi$f'$không xác định tại$x_0$nhưng dấu của$f'$ đổi qua$x_0$, điểm đó cũng là cực trị.
- Luôn kiểm tra miền xác định của hàm trước khi khảo sát.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính đơn điệu và cực trị gắn liền với:
- Định lý Rolle và định lý giá trị trung gian của đạo hàm.
- Tính lõm, lồi của đồ thị (liên quan đến đạo hàm cấp hai).
- Ứng dụng trong bài toán tối ưu hóa (kinh tế, kỹ thuật).

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $f(x)=x^4-4x^2+3\,. <br />Lời giải:$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\,.$Giải f'(x)=0\Leftrightarrow x=0, \pm \sqrt2\,.$ Xét dấu tương tự như ví dụ trên để kết luận.

Bài tập 2: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số $f(x)=\ln x - x$trên$(0,+\infty)$.
Lời giải:$f'(x)=\frac1x-1\,,\quad f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\,.$Xét dấu: trên$(0,1)$:$f'>0$, trên$(1,+\infty)$:$f'<0$. Vậy$x=1$là điểm cực đại.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Bỏ sót nghiệm của$f'(x)=0$hoặc điểm không khả vi.
- Không xét đúng dấu của$f'(x)$trên từng khoảng.
- Quên kiểm tra miền xác định trước khi khảo sát.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khảo sát tính đơn điệu bằng cách xét dấu của$f'(x)$.
- Xác định nghiệm$f'(x)=0$và điểm không khả vi.
- Điểm cực trị khi$f'$ đổi dấu qua điểm đó.
- Kết hợp bảng biến thiên để trình bày kết quả rõ ràng.