Giới thiệu

Trong chương trình Giải tích 12, hàm số vận tốc là khái niệm quan trọng giúp mô tả chuyển động của vật thể theo thời gian. Việc nắm vững hàm số vận tốc không chỉ giúp giải các bài tập về chuyển động mà còn là cơ sở để nghiên cứu các khái niệm nâng cao như gia tốc, quãng đường đi được và các ứng dụng thực tế trong vật lý và kỹ thuật.

Định nghĩa

Giả sử một vật chuyển động trên trục thẳng. Gọi$s(t)$là hàm số biểu diễn vị trí của vật theo thời gian$t$. Khi$s(t)$có đạo hàm tại$t$, ta định nghĩa hàm số vận tốc tức thời như sau:

Hàm số vận tốc tức thời$v(t)$là đạo hàm của hàm số quãng đường$s(t)$theo biến thời gian$t$, tức là

$v(t)=s'(t)=\frac{ds}{dt}.

Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định hàm quãng đường$s(t)$. Ví dụ, cho chuyển động thẳng có quãng đường$s(t)=5t^{2}+2t+1\;(\mathrm{m})$.

Bước 2: Tính đạo hàm của$s(t)$theo$t$ để tìm$v(t)$.

Ta có

$v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(5t^{2}+2t+1\bigr)=10t+2\;(\mathrm{m/s}).$

Kết quả: tại thời điểm$t$, vận tốc tức thời của vật là $v(t)=10t+2$m/s.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

1. Vận tốc không đổi: Nếu$v(t)=v_{0}$(hằng số), thì quãng đường là hàm bậc nhất:$s(t)=v_{0}t+C.$2. Vận tốc âm: Khi$v(t)<0$, vật chuyển động ngược chiều chiều dương của trục. 3. Vận tốc trung bình trên khoảng$[t_{1},t_{2}]$ được tính bởi

$v_{\text{tb}}=\frac{s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.$

Lưu ý: hàm$s(t)$phải liên tục và khả vi trên khoảng đó để xác định$v(t)$tại mọi điểm.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Gia tốc$a(t)$là đạo hàm của vận tốc tức thời:$a(t)=v'(t)=s''(t).$– Đồ thị $v$–$t$cho biết tốc độ, diện tích dưới đồ thị biểu diễn quãng đường đi được:$\Delta s=\int_{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt.$– Hàm số vận tốc liên quan mật thiết đến giới hạn và khái niệm đạo hàm trong giải tích.

Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$s(t)=3t^{3}-4t+2$. Tìm$v(t)$và $a(t)$.

Giải:

– Vận tốc:

$v(t)=s'(t)=9t^{2}-4.$

– Gia tốc:

$a(t)=v'(t)=18t.$

Bài tập 2: Cho $s(t)=\sin t$. Tính vận tốc tức thời và cho biết thời điểm đầu tiên vật đứng yên sau $t=0$.

Giải:$v(t)=\cos t$. Vật đứng yên khi$v(t)=0 \Rightarrow \cos t=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k \in \mathbb{Z}$. Thời điểm đầu tiên sau 0 là $t=\frac{\pi}{2}$.

Bài tập 3: Cho chuyển động với hàm vận tốc$v(t)=4t-2$. Biết tại$t=1$, vị trí $s(1)=5$. Tìm$s(t)$.

Giải: Tích phân vận tốc cho quãng đường:

$s(t)=\int v(t)\,dt=\int(4t-2)\,dt=2t^{2}-2t+C.$Áp dụng$s(1)=5$, suy ra$2-2+C=5 \Rightarrow C=5.$Vậy

$\boxed{s(t)=2t^{2}-2t+5.}$

Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Nhầm lẫn giữa vận tốc trung bình và vận tốc tức thời. 2. Quên quy tắc đạo hàm (như đạo hàm đa thức, chuỗi). 3. Không chú ý dấu âm khi$v(t)<0$. 4. Bỏ qua hằng số khi tích phân ngược lại từ $v(t)$sang$s(t)$.

Cách tránh: Hãy luôn kiểm tra công thức đạo hàm, phân biệt rõ khái niệm trung bình và tức thời, và ghi nhớ hằng số tích phân.

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

– Hàm số vận tốc tức thời là $v(t)=s'(t)=\tfrac{ds}{dt}$.

– Vận tốc trung bình:$v_{\text{tb}}=\tfrac{s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$.

– Gia tốc:$a(t)=v'(t)=s''(t)$.

– Diện tích dưới đồ thị $v$–$t$là quãng đường đi được.

Nắm chắc khái niệm và quy tắc tính đạo hàm sẽ giúp bạn tự tin giải mọi bài tập liên quan đến hàm số vận tốc.