1. Giới thiệu về cách giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc xuất hiện thường xuyên trong chương trình Hình học 11. Việc thành thạo “cách giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc” không chỉ giúp học sinh ghi điểm cao trong các bài kiểm tra định kỳ mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các phần hình học không gian, vectơ, tọa độ trong các lớp cao hơn. Trong bài hướng dẫn này, chúng ta sẽ cùng phân tích đặc điểm, xây dựng chiến lược tổng thể, triển khai các bước giải chi tiết, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa, công thức cần nhớ, biến thể bài toán, bài tập mẫu và mẹo tránh sai lầm.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Đặc điểm chính của bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bao gồm:
- Đề bài cho trước mối quan hệ giữa các điểm, các đoạn thẳng, hoặc các góc.
- Mục tiêu là chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng$90^0$hoặc tích hướng của hai vectơ bằng 0.
- Có thể giải bằng nhiều phương pháp: góc vuông trong tam giác, tích vô hướng vectơ, hệ số góc trong tọa độ, tính chất đường tròn.

3. Chiến lược tổng thể khi giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Trước khi đi vào chi tiết, học sinh cần xây dựng cho mình một chuỗi bước chiến lược tổng thể để tiếp cận:
1. Đọc kỹ đề, xác định hai đường thẳng cần chứng minh vuông góc.
2. Vẽ hình chính xác và ghi chú tất cả điều kiện đã cho (điểm, đoạn thẳng, góc, song song...).
3. Lựa chọn công cụ chứng minh phù hợp:
• Phương pháp góc: chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng$90^0$.
• Phương pháp vectơ: sử dụng$\vec u \cdot \vec v=0$.
• Phương pháp hoành độ: hệ số góc$m_1 \cdot m_2=-1$.
4. Chuyển đổi đề bài hoặc bổ sung điểm, đường phụ nếu cần.
5. Lập luận chặt chẽ theo từng bước, ghi rõ lý do (định lý, hệ quả, tính chất tam giác vuông...).
6. Kết luận và kiểm tra lại tính hợp lý của lời giải.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Cụ thể, quy trình giải một bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc thường gồm 5 bước chính:
Bước 1: Phân tích đề – Vẽ hình, ghi điều kiện.

Bước 2: Xác định phương pháp chính (góc, vectơ, tọa độ).

Bước 3: Lập đường phụ hoặc bổ sung điểm trung gian (nếu cần): ví dụ vẽ đường cao, vẽ hình chiếu.

Bước 4: Chứng minh các góc hoặc tích vô hướng bằng 0.

Bước 5: Kết luận hai đường thẳng vuông góc và tổng kết lời giải.

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác$ABC$. Trên cạnh$AC$lấy điểm$M$sao cho$AM=MC$. Qua$M$kẻ đường thẳng$d$vuông góc với$AB$cắt$BC$tại$N$. Chứng minh$MN\perp BC$.

Lời giải:
- Bước 1: Vẽ tam giác$ABC$, điểm$M$trên$AC$và đường thẳng$d\perp AB$cắt$BC$tại$N$.
- Bước 2: Phương pháp chính: chứng minh góc$MNB=90^\circ$.
- Bước 3: Xét tam giác$AMB$và $CMB$.
+ Vì $AM=MC$và góc$AMB$chung, hai tam giác bằng nhau nên$\angle MBN=\angle NBM$.
- Bước 4: Trong tam giác$MBN$, hai góc ở đỉnh$B$bằng nhau nên cạnh$MN$là tia phân giác ngoài, kết hợp$d\perp AB$suy ra$\angle MNB=90^\circ$.
- Bước 5: Vậy$MN\perp BC$như yêu cầu.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Dưới đây là những kiến thức trọng tâm thường gặp:
- Tích vô hướng:$\vec u \cdot \vec v=0\iff$hai vectơ vuông góc.
- Hệ số góc trong giao điểm hai đường thẳng:$m_1 \cdot m_2=-1$.
- Định lý hình chiếu: Hình chiếu của điểm lên đường thẳng tạo góc vuông.
- Định lý: Trong đường tròn, bán kính vuông góc với tiếp tuyến.
- Tính chất tam giác vuông: Đường cao, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.
- Phép biến hình: đối xứng trục, quay, tịnh tiến hỗ trợ tìm góc vuông.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Dưới đây là một số biến thể thường gặp và cách điều chỉnh chiến thuật:
• Bài toán trong hệ tọa độ: Áp dụng công thức hệ số góc, viết phương trình đường thẳng rồi nhân hệ số góc.
• Bài toán vectơ: Biểu diễn vectơ trên hai đường thẳng, tính tích vô hướng.
• Bài toán liên quan đường tròn: Dùng tính chất tiếp tuyến, dây cung và góc tạo bởi tia tiếp tuyến.
• Hình không gian cơ bản: Chứng minh mặt phẳng vuông góc, sau đó suy ra đường thẳng vuông góc.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:

Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$. Trên cạnh$AB$lấy điểm$M$sao cho$AM=MB$. Qua$M$kẻ đường thẳng vuông góc với$AC$cắt$BC$tại$N$. Chứng minh$MN\perp BC$.

Lời giải:
1. Vẽ tam giác$ABC$vuông tại$A$, điểm$M$trung điểm$AB$, đường thẳng qua$M$vuông góc$AC$cắt$BC$tại$N$.
2. Vì tam giác$ABC$vuông tại$A$, nên$AC\perp AB$. Do đó đường qua$M$vuông góc$AC$song song với$AB$.
3. Điểm$M$là trung điểm$AB$, nên$MN$là đường trung bình của tam giác vuông$ABC$(vì song song$AB$và $MN$).
4. Trong tam giác$ABC$, đường trung bình ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền và song song với cạnh huyền. Vậy$MN\perp BC$suy ra$MN\perp BC$.
5. Kết luận hoàn thành yêu cầu chứng minh.

8. Bài tập thực hành

Để tự luyện, các em hãy thử giải những bài sau:

1. Cho hình bình hành$ABCD$. Gọi$E$là trung điểm$AB$. Kẻ $EF\perp AC$(với$F$trên$AC$). Chứng minh$EF\perp BD$.
2. Trong tam giác$ABC$,$AH$là đường cao,$D$là trung điểm$BC$. Chứng minh$DH\perp AB$.
3. Cho đường tròn$(O)$, tiếp tuyến tại$A$là $t$. Qua$A$kẻ $AH\perp t$cắt$(O)$tại$H$. Chứng minh$AH\perp OH$.

Các em tự vẽ hình, ghi điều kiện và áp dụng chiến lược đã học để giải chi tiết.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn vẽ hình thật chính xác, ghi đủ các dấu vuông góc.
- Ghi rõ lý do cho mỗi bước (định lý, kết quả trung gian).
- Khi sử dụng vectơ, kiểm tra hướng của vectơ trước khi nhân tích vô hướng.
- Tránh nhầm lẫn đường trung bình và đường trung tuyến. Đọc kỹ đề trước khi vẽ đường phụ.
- Trong tọa độ, kiểm tra hệ số góc thật cẩn thận (chênh lệch dấu).
- Kiểm tra lại kết luận cuối cùng với hình vẽ để đảm bảo không mắc sai sót.