1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Trong chương trình toán xác suất lớp 11, một trong những dạng bài toán cơ bản nhưng rất quan trọng là tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố rời nhau. Việc nắm vững cách giải dạng toán này giúp học sinh tự tin xử lý các bài toán phức tạp hơn, đồng thời phát triển tư duy phân tích tổ hợp và tính xác suất.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Biến cố rời nhau là hai biến cố không xảy ra đồng thời. Đặc điểm chính của dạng toán này:

• Nếu$A$và $B$rời nhau thì
  $$A\ \cap B=\\emptyset$$
  .
• Công thức tổng quát:$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\ \cap B).$
• Với biến cố rời nhau:$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B).$

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định biến cố $A$, biến cố $B$và kiểm tra tính rời nhau.
2. Tính xác suất từng biến cố $P(A)$và $P(B)$thông qua các phương pháp thống kê hoặc tổ hợp.
3. Áp dụng công thức: nếu rời nhau,$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B).$
4. Kiểm tra kết quả, đảm bảo giá trị trong khoảng$[0,1]$.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Rút ngẫu nhiên 2 bi mà không hoàn lại. Tính xác suất biến cố $A$= “có ít nhất 1 bi đỏ” và $B$= “có ít nhất 1 bi xanh”.

Bước 1: Xác định tính rời nhau.

$A$và $B$không rời nhau vì cùng lúc có thể xảy ra “1 bi đỏ và 1 bi xanh”. Tuy nhiên, để minh họa dạng rời nhau, ta xét lại bài toán khác:

Ví dụ điều chỉnh: Hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh. Rút 1 bi. Biến cố $A$= “rút bi đỏ”, biến cố $B$= “rút bi xanh”. Rõ ràng

Bước 2: Tính$P(A)$và $P(B)$.

Tổng số bi =$5+3=8$.

–$P(A)=\dfrac{5}{8}$; –$P(B)=\dfrac{3}{8}$.

Bước 3: Do rời nhau, áp dụng$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}=1.$

Kết luận: Xác suất rút được bi đỏ hoặc bi xanh bằng 1 (chắc chắn).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tổng quát:$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\ \cap B).$
• Với biến cố rời nhau:$P(A\ \cap B)=0 \Rightarrow P(A\ \cup B)=P(A)+P(B).$
• Phương pháp tổ hợp:
  $$P(A)=\dfrac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp}}.$$
• Luôn kiểm tra tính rời nhau bằng cách xác định xem có trường hợp chung không.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

– Rút nhiều bi mà không hoàn lại: Có thể phải tính tổ hợp chứ không chỉ tỉ lệ đơn giản.

Ví dụ: Rút 2 bi, biến cố $A$= “2 bi đỏ”,$B$= “2 bi xanh”. Rời nhau rõ ràng. Ta có:

$P(A)=\dfrac{\mathrm{C}(5,2)}{\mathrm{C}(8,2)},\quad P(B)=\dfrac{\mathrm{C}(3,2)}{\mathrm{C}(8,2)},$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B).$

– Bài toán có nhiều biến cố: Có thể phân tích cặp rồi áp dụng quy tắc cộng nhiều lần nếu rời nhau.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Một túi có 4 quả bóng đỏ, 6 quả bóng xanh và 2 quả bóng vàng. Lấy 1 quả bóng ngẫu nhiên. Gọi$A$= “lấy bóng đỏ hoặc vàng”,$B$= “lấy bóng xanh hoặc vàng”. Tính$P(A\ \cup B)$nếu$A$và $B$rời nhau hay không?

1. Xác định$A, B$và kiểm tra rời nhau.
2. Tổng số quả bóng =$4+6+2=12$.
3. – Biến cố $A$thuận lợi = đỏ (4) hoặc vàng (2) ⇒$6$trường hợp. ⇒$P(A)=6/12=1/2$.
4. – Biến cố $B$thuận lợi = xanh (6) hoặc vàng (2) ⇒$8$trường hợp. ⇒$P(B)=8/12=2/3$.
5. $A\ \cap B$= “vàng” (2/12 = 1/6) nên không rời nhau.
6. Áp dụng công thức tổng quát:
   $$P(A\ \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\ \cap B)=\\dfrac12+\\dfrac23-\\dfrac16=1.$$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

• Một hộp có 7 sách Toán, 5 sách Văn. Chọn 1 cuốn ngẫu nhiên. Gọi$A$= “chọn Toán”,$B$= “chọn Văn”. Tính$P(A\ \cup B)$.
• Rút 2 lá bài từ bộ 52 lá (không hoàn). Gọi$A$= “có 2 cơ”,$B$= “có 2 rô”. Tính$P(A\ \cup B)$nếu rời nhau.
• Bốc 1 viên bi từ hộp có 10 bi xanh, 5 bi đỏ, 5 bi trắng. Gọi$A$= “bi không trắng”,$B$= “bi không đỏ”. Tính$P(A\ \cup B)$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra biến cố có rời nhau thật hay không trước khi áp dụng công thức rút gọn.
• Dùng biểu diễn Venn nếu bài toán phức tạp nhiều biến cố.
• Kiểm tra tổng xác suất phải nằm trong$[0,1]$.
• Ghi rõ công thức, không nhầm lẫn hiệu và cộng.