Chiến lược giải bài toán Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, thuộc phần hình học không gian. Khác với khoảng cách giữa hai điểm hay khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, bài toán này đòi hỏi học sinh hiểu sâu về vectơ chỉ phương, tích có hướng và mối liên hệ ba chiều.

Việc nắm vững cách giải bài toán này giúp học sinh phát triển tư duy không gian, luyện kỹ năng chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn đường thẳng, và ứng dụng trong các bài toán thực tế như khoảng cách giữa hai thanh dầm trong kỹ thuật, giao thông hay thiết kế kiến trúc.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Trước khi tìm cách giải, ta cần phân tích các đặc điểm cơ bản sau:

- Hai đường thẳng chéo nhau (skew lines) không nằm trên cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau.

- Mỗi đường thẳng thường được cho dưới dạng tham số hoặc dạng đối xứng với vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường.

- Để tính khoảng cách, ta cần xác định vectơ chỉ phương$\vec{u_1},\vec{u_2}$và một cặp điểm$P_1,P_2$tương ứng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Có hai chiến lược chính thường được áp dụng để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

- Sử dụng tích vô hướng ba véc-tơ (scalar triple product) kết hợp với tích chéo hai vectơ chỉ phương.

- Phương pháp chiếu (projection): xây dựng đường vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc.

Cách tiếp cận bằng tích vô hướng ba véc-tơ thường ngắn gọn và hiệu quả về mặt tính toán, giúp ta giải nhanh trong các bài thi.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng dưới dạng:

$d_1: \vec{r} = \vec{a} + t\,\vec{u_1}, \quad d_2: \vec{r} = \vec{b} + s\,\vec{u_2}$

Trong đó $\vec{a},\vec{b}$là các vectơ vị trí của điểm$P_1,P_2$lần lượt,$\vec{u_1},\vec{u_2}$là vectơ chỉ phương.

Bước 2: Tìm vectơ nối hai điểm$P_1,P_2$:$\overrightarrow{P_1P_2} = \vec{b} - \vec{a}$.

Bước 3: Tính tích vô hướng ba véc-tơ:

Bước 4: Tính độ lớn của tích chéo hai vectơ chỉ phương:

$\bigl\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\bigr\| = \sqrt{\bigl(\vec{u_1} \times \vec{u_2}\bigr) \cdot \bigl(\vec{u_1} \times \vec{u_2}\bigr)}$

Bước 5: Đưa vào công thức tính khoảng cách:

$d = \frac{\bigl| (\vec{u_1},\vec{u_2},\overrightarrow{P_1P_2}) \bigr|}{\bigl\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\bigr\|}$

Ví dụ minh họa:

Cho$d_1: \dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z-2}{-1}$và $d_2: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z+1}{4}$. Tính khoảng cách giữa$d_1$và $d_2$.

Giải:

– Chọn điểm$P_1(-1,0,2)$trên$d_1$và điểm$P_2(0,2,-1)$trên$d_2$.

– Vectơ chỉ phương$\vec{u_1}=(2,3,-1)$,$\vec{u_2}=(1,-2,4)$.

– Vectơ nối$\overrightarrow{P_1P_2}=(1,2,-3)$.

– Tích vô hướng ba véc-tơ:

– Tích chéo vectơ chỉ phương:

$\bigl\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\bigr\| = \sqrt{10^2 + (-9)^2 + (-7)^2} = \sqrt{230}.$

– Suy ra khoảng cách:

$d = \frac{|13|}{\sqrt{230}} = \frac{13}{\sqrt{230}}.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức chung:$d = \dfrac{|(\vec{u_1},\vec{u_2},\overrightarrow{P_1P_2})|}{\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\|}$.

- Biểu diễn đường thẳng dạng tham số và dạng đối xứng để dễ xác định điểm và vectơ chỉ phương.

- Kỹ thuật tính định thức 3×3 nhanh gọn.

- Khi có song song hoặc cắt nhau, kiểm tra điều kiện$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \vec{0}$hoặc giải hệ để kiểm tra giao điểm.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

– Đường thẳng cho dưới dạng phẳng song song: chuyển đổi sang dạng tham số.

– Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: công thức đơn giản hơn$d = \dfrac{\| (\vec{b}-\vec{a}) \times \vec{u} \|}{\|\vec{u}\|}$.

– Trong không gian 2D, chuyển thành bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

– Khi đường thẳng cắt nhau, khoảng cách bằng 0.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho$d_1: \vec{r} = (1,2,0) + t(3,-1,2)$và $d_2: \vec{r} = (0,1,3) + s(1,2,-1)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên.

Lời giải:

Bước 1: Lấy$P_1(1,2,0),P_2(0,1,3)$. Vectơ chỉ phương$\vec{u_1}=(3,-1,2),\vec{u_2}=(1,2,-1)$.

Bước 2:$\overrightarrow{P_1P_2}=(-1,-1,3)$.

Bước 3: Tính tích vô hướng ba véc-tơ:

Bước 4: Tính $\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\| = \sqrt{( -1 \times -1 - 2 \times 2)^2 + (2 \times 1 - 3 \times -1)^2 + (3 \times 2 - (-1) \times 1)^2} = \sqrt{29}.$

Do đó $d=\dfrac{16}{\sqrt{29}}$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể thử các bài sau:

1. Cho$d_1: (x,y,z)=(2,0,1)+t(1,2,3)$và $d_2: (x,y,z)=(0,1,-1)+s(4,-1,2)$. Tính khoảng cách.

2. Cho hai đường thẳng song song$d_1$và $d_2$trong không gian; hãy xác định khi nào khoảng cách bằng 0.

3. Cho$d_1: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+2}{-1}$và $d_2: \dfrac{x+3}{-2} = y = \dfrac{z}{4}$. Tính khoảng cách.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra điều kiện chéo nhau:$\vec{u_1} \times \vec{u_2} <br> \neq \vec{0}$và hệ phương trình không có nghiệm chung.

- Chú ý dấu đối với tích vô hướng ba véc-tơ, sử dụng trị tuyệt đối.

- Viết rõ tọa độ và bước tính toán định thức để tránh nhầm lẫn dấu.

- Khi tính tích chéo, cẩn thận thứ tự hàng để lấy đúng vectơ.

- Rèn luyện nhiều ví dụ với dữ liệu khác nhau để nâng cao tốc độ tính toán.