1. Giới thiệu

Trong chương trình Toán 11, xác suất là một chủ đề quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy phân tích, ra quyết định và đánh giá rủi ro trong cuộc sống. Một trong những công cụ trực quan và hiệu quả nhất để giải các bài toán xác suất phức tạp là sơ đồ hình cây (tree diagram). Bằng cách liệt kê đầy đủ các khả năng xảy ra và gán xác suất cho từng nhánh, sơ đồ hình cây giúp chúng ta dễ dàng tính toán xác suất của các sự kiện liên quan.

2. Định nghĩa chính xác

Sơ đồ hình cây là một biểu diễn đồ họa cho thí nghiệm có nhiều giai đoạn hoặc nhiều bước. Mỗi nhánh của cây biểu diễn một diễn biến có thể xảy ra ở từng bước và được gán một xác suất. Khi di chuyển từ gốc tới một lá (đỉnh cuối cùng), ta nhân các xác suất trên các nhánh đi qua để tính xác suất của đường đi đó.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để giải một bài toán xác suất bằng sơ đồ hình cây, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xác định các giai đoạn của thí nghiệm và các kết quả có thể xảy ra ở mỗi giai đoạn.

- Bước 2: Vẽ sơ đồ hình cây với mỗi nhánh tương ứng một kết quả ở từng giai đoạn.

- Bước 3: Gán xác suất cho mỗi nhánh. Nếu các kết quả ở cùng giai đoạn độc lập, gán$P$tương ứng; nếu phụ thuộc, sử dụng xác suất có điều kiện$P(B\mid A)$.

- Bước 4: Tính xác suất của mỗi đường đi từ gốc đến lá bằng tích xác suất trên các nhánh:$P(A \cap B)=P(A) \times P(B\mid A).$

- Bước 5: Tính xác suất của sự kiện cần tìm bằng tổng xác suất của các đường đi thỏa mãn: $P(\text{sự kiện})=\sum P(\text{đường đi}).$

Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Rút hai viên liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để lần đầu rút được bi đỏ và lần hai rút được bi xanh.

Bước 1: Thí nghiệm có hai giai đoạn: lần 1 và lần 2.

Bước 2: Sơ đồ hình cây:

- Lần 1: hai nhánh$R_1$(đỏ) và $X_1$(xanh).Lần 2 từ mỗi nhánh lại chia thành$R_2$và $X_2$.

Bước 3: Gán xác suất:

-$P(R_1)=\frac{3}{5}$,$P(X_1)=\frac{2}{5}$.

- Nếu lần 1 đỏ, còn lại 2 bi đỏ và 2 bi xanh:$P(R_2\mid R_1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P(X_2\mid R_1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

- Nếu lần 1 xanh, còn lại 3 bi đỏ và 1 bi xanh:$P(R_2\mid X_1)=\frac{3}{4}$,$P(X_2\mid X_1)=\frac{1}{4}$.

Bước 4: Tính xác suất đường đi$R_1\to X_2$:

$P(R_1 \cap X_2)=P(R_1) \times P(X_2\mid R_1)=\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}.$

Vậy xác suất cần tìm là $\displaystyle \frac{3}{10}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu thí nghiệm có nhiều hơn hai giai đoạn, sơ đồ cây sẽ mở rộng thành nhiều tầng. Luôn nhớ nhân xác suất qua mỗi tầng.

- Trong trường hợp có hoàn lại, xác suất ở mỗi giai đoạn giữ nguyên nên các nhánh có cùng độ sâu lặp lại cùng giá trị.

- Nếu các kết quả ở một giai đoạn không đầy đủ liệt kê, dễ bị thiếu đường đi. Cần đảm bảo liệt kê tất cả khả năng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Công thức xác suất có điều kiện:$P(B\mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}.$

- Định luật xác suất toàn phần: $P(B)=\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i),$ thường được thể hiện qua sơ đồ hình cây.

- Bayes: $P(A_k\mid B)=\frac{P(A_k)P(B\mid A_k)}{\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)}.$

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Có 2 đồng xu, trong đó một đồng xu công bằng (mặt ngửa và mặt sấp có xác suất bằng nhau) và một đồng xu gian lận (mặt ngửa xác suất$\frac{3}{4}$, mặt sấp$\frac{1}{4}$). Lần lượt tung cả hai xu. Tính xác suất thu được đúng một mặt ngửa.

Lời giải:

Gọi$C$là sự kiện chọn đồng xu công bằng,$G$ đồng xu gian lận;$U$mặt ngửa,$D$mặt sấp.

Sơ đồ hình cây gồm hai giai đoạn: chọn xu, tung xu.

-$P(C)=P(G)=\frac{1}{2}$.

-$P(U\mid C)=\frac{1}{2},\;P(D\mid C)=\frac{1}{2}$.

-$P(U\mid G)=\frac{3}{4},\;P(D\mid G)=\frac{1}{4}$.

Xác suất đúng một mặt ngửa gồm hai đường đi:$C\to U$và $G\to D$hoặc$C\to D$và $G\to U$.

$P= P(C)P(U\mid C)P(G)P(D\mid G)+P(C)P(D\mid C)P(G)P(U\mid G).$

Thay số:

$=\frac12 \times \frac12 \times \frac12 \times \frac14+\frac12 \times \frac12 \times \frac12 \times \frac34=\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{4}.$

Bài tập 2: Rút hai quân bài từ bộ 52 quân (không hoàn lại). Tính xác suất để quân đầu là bích, quân hai là cơ.

Lời giải nhanh:

- undefined .

- Sau khi rút bích, còn 51 quân, trong đó 13 quân cơ: undefined .

Vậy:$P=\frac{1}{4} \times \frac{13}{51}=\frac{13}{204}.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên nhân xác suất có điều kiện khi sự kiện phụ thuộc.

- Liệt kê thiếu hoặc thừa đường đi dẫn đến sai tổng xác suất.

- Nhầm lẫn giữa xác suất có điều kiện và xác suất chung. Luôn phân tích thí nghiệm theo từng giai đoạn.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Sơ đồ hình cây giúp liệt kê đầy đủ các khả năng trong thí nghiệm nhiều bước.

- Xác suất của một đường đi bằng tích xác suất trên các nhánh.

- Xác suất của sự kiện là tổng xác suất của các đường đi thỏa mãn.

- Sử dụng công thức điều kiện và định luật xác suất toàn phần để gán đúng xác suất cho nhánh.

Hy vọng bài viết giúp các em nắm vững phương pháp giải bài toán xác suất bằng sơ đồ hình cây, phục vụ tốt cho việc ôn tập và làm bài kiểm tra toán 11.