Hàm logarit – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Hàm logarit là một khái niệm cơ bản trong chương trình Toán 11, xuất hiện khi chúng ta tìm hiểu về hàm số nghịch đảo của hàm mũ. Hiểu rõ hàm logarit giúp học sinh giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, đồng thời là nền tảng để học các môn cao hơn như Giải tích, Vật lý hay Kinh tế học.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho một số thực dương $a$ khác $1$. Hàm số $f(x)=\log_a x$ được gọi là hàm logarit cơ số $a$.

- Phần xác định (Domain): $x>0$.

- Tập giá trị (Range): toàn bộ $\mathbb{R}$.

- Điều kiện về cơ số: $a>0$ và $a e1$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Ý nghĩa của $\log_a x$:

Khai triển định nghĩa: $y=\log_a x$ khi và chỉ khi $a^y=x$.

Ví dụ 1: Tính $\log_2 8$.

Giải: Gọi $y=\log_2 8$ tương đương $2^y=8$; vì $8=2^3$ nên $y=3$. Vậy $\log_2 8=3$

Ví dụ 2: Tính $\log_{10} 0.01$.

Giải: Gọi $y=\log_{10}0.01$ tương đương $10^y=0.01$; vì $0.01=10^{-2}$ nên $y=-2$. Vậy $\log_{10}0.01=-2$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi $a>1$, hàm logarit tăng trên$(0,+\infty)$; khi$0<a<1$, hàm giảm.

- Đặc biệt:

+ Cơ số $a=e \approx 2.71828$ gọi là logarit tự nhiên, kí hiệu $\ln x=\log_e x$.

+ Cơ số $10$ gọi là logarit thập phân, kí hiệu $\log x=\log_{10} x$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm logarit là hàm nghịch đảo của hàm mũ: nếu $y=a^x$, đảo ta được $x=\log_a y$. Tức $y=a^x\iff x=\log_a y$

- Công thức đổi cơ số: $\log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b}$ với $a,b>0$, $a,b \neq 1$.

- Mối quan hệ với các quy tắc đại số: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$

$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$

$\log_a x^k=k\log_a x$

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm điều kiện xác định và vẽ đồ thị $y=\log_2(x-1)$.

Lời giải:

- Điều kiện xác định: $x-1>0\implies x>1$.

- Tính một số điểm:

+ $x=2\implies y=\log_2 1=0$.

+ $x=3\implies y=\log_2 2=1$.

+ $x=5\implies y=\log_2 4=2$.

- Đồ thị là đồ thị hàm logarit cơ số $2$, tịnh tiến sang phải 1 đơn vị.

Bài tập 2: Giải phương trình $\log_3(x)+\log_3(x-2)=1$

Lời giải:

- Điều kiện xác định: $x>2$.

- Áp dụng quy tắc tổng logarit: $\log_3[x(x-2)]=1$

Suy ra $x(x-2)=3^1=3\implies x^2-2x-3=0\implies x=3\text{hoặc}x=-1$ . Do $x>2$, chọn $x=3$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên điều kiện $x>0$ hoặc điều kiện biến đổi bên trong logarit >0.

- Nhầm lẫn giữa logarit và hàm mũ; cần nhớ quan hệ nghịch đảo.

- Sai quy tắc đổi cơ số; phải áp dụng đúng công thức $\log_b x=\dfrac{\log_a x}{\log_a b}$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm logarit $f(x)=\log_a x$có domain$(0,\infty)$, range$\mathbb{R}$,$a>0$, $a \neq 1$.

- Là hàm nghịch đảo của hàm mũ: $a^y=x\iff y=\log_a x$

- Công thức quan trọng:

+ $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$

+ $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$

+ $\log_a x^k=k\log_a x$

+ $\log_b x=\frac{\log_a x}{\log_a b}$

Hy vọng bài viết giúp các em nắm vững khái niệm hàm logarit và tự tin giải các bài tập liên quan.