1. Giới thiệu

Trong chương trình hình học không gian lớp 11, khái niệm hai đường thẳng vuông góc đóng vai trò then chốt trong việc phát triển tư duy không gian và giải quyết các bài toán về vị trí tương đối của các đường thẳng. Việc nhận biết hai đường thẳng vuông góc giúp học sinh nắm vững các phương pháp định hướng, tính góc và khoảng cách trong không gian, từ đó áp dụng hiệu quả vào các bài toán thực tế và những nội dung nâng cao sau này.

2. Định nghĩa

Hai đường thẳng$d_1$và $d_2$trong không gian được gọi là vuông góc nếu chúng cắt nhau tại một điểm và góc giữa chúng bằng$90^\circ$. Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng vectơ chỉ phương. Giả sử $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$là vectơ chỉ phương của$d_1$và $d_2$tương ứng, thì điều kiện cần và đủ để $d_1\perp d_2$là tích vô hướng của hai vectơ bằng 0, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để kiểm tra hai đường thẳng trong không gian có vuông góc hay không, ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng. Nếu đường thẳng$d$ đi qua hai điểm$A(x_1,y_1,z_1)$và $B(x_2,y_2,z_2)$, thì vectơ chỉ phương của$d$là $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$bằng công thức$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.$

Bước 3: Kiểm tra kết quả. Nếu$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$, hai đường thẳng vuông góc; ngược lại, không vuông góc.

Ví dụ minh họa: Cho hai đường thẳng$d_1$ đi qua$A(1,2,3)$và $B(2,4,5)$, đường thẳng$d_2$ đi qua$C(0,1,2)$và $D(3,-1,1)$. Vectơ chỉ phương$\overrightarrow{AB}=(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2)$; vectơ chỉ phương$\overrightarrow{CD}=(3-0,-1-1,1-2)=(3,-2,-1)$. Tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}=1 \cdot 3+2 \cdot (-2)+2 \cdot (-1)=3-4-2=-3<br> \neq 0.$Vậy$d_1$và $d_2$không vuông góc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Trong không gian, hai đường thẳng có thể không nằm trong cùng một mặt phẳng (gọi là đường thẳng chéo nhau). Trong trường hợp này, khái niệm vectơ chỉ phương và tích vô hướng vẫn áp dụng, tuy nhiên hai đường thẳng chéo nhau không cắt nhau nên không có góc giao nhau trực tiếp. Để xác định xem có phải hai đường thẳng chéo nhau vuông góc hay không, ta xét đoạn ngắn nhất nối hai đường thẳng; nếu đoạn này vuông góc với cả hai đường, hai đường thẳng chéo nhau được coi là vuông góc.

Ngoài ra, khi một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng, đường thẳng đó vuông góc với cả mặt phẳng chứa hai đường.

Một số lưu ý quan trọng:
- Luôn xác định đúng vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra điều kiện chéo nhau (nếu không giao nhau) trước khi áp dụng tích vô hướng.
- Chú ý dấu của tích vô hướng, giá trị 0 cho biết vuông góc.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm đường thẳng vuông góc liên quan chặt chẽ đến:
- Tích vô hướng trong đại số tuyến tính.
- Phương pháp tọa độ trong không gian (hệ trục$Oxyz$).
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng không song song trong mặt phẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng.
- Góc giữa hai vectơ và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định xem hai đường thẳng$d_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$và

có vuông góc hay không.

Lời giải:
Vectơ chỉ phương của$d_1$là $\overrightarrow{u}=(2,-1,3)$, vectơ chỉ phương của$d_2$là $\overrightarrow{v}=(1,2,-1)$. Tích vô hướng$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=2 \cdot 1+(-1) \cdot 2+3 \cdot (-1)=2-2-3=-3<br>eq0.$Vậy hai đường thẳng không vuông góc.

Bài tập 2: Cho điểm$A(0,0,0)$và đường thẳng$d$có vectơ chỉ phương$\overrightarrow{v}=(1,1,0)$. Hãy xác định vectơ chỉ phương$\overrightarrow{u}$ để đường thẳng$d'$ đi qua$A$vuông góc với$d$và đi qua điểm$B(1,-1,2)$.

Lời giải:
Vectơ $\overrightarrow{u}$phải thỏa$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$và đi qua$A$và $B$nên$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(1,-1,2)$. Kiểm tra tích vô hướng$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{v}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 1+2 \cdot 0=1-1+0=0.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
- Quên kiểm tra hai đường thẳng có giao nhau hay không.
- Tính sai thành phần vectơ khi xác định vectơ chỉ phương.
- Không chú ý dấu âm khi tính tích vô hướng.

Cách tránh:
- Viết rõ từng bước tính.
- Kiểm tra lại các thành phần vectơ.
- Đảm bảo hai đường thẳng giao nhau hoặc xét trường hợp chéo nhau khi cần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hai đường thẳng vuông góc nếu chúng giao nhau và góc tạo thành bằng$90^\circ$.
• Điều kiện vectơ chỉ phương:$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
• Đường thẳng không giao nhau (chéo nhau) vuông góc nếu đoạn ngắn nhất nối hai đường vuông góc với cả hai.
• Liên hệ chặt chẽ với tích vô hướng và phương pháp tọa độ trong không gian.