1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, xác suất là một công cụ quan trọng để mô tả và phân tích các hiện tượng ngẫu nhiên trong đời sống và khoa học. Một trong những nội dung cơ bản là tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ, hay còn gọi là xác suất biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố đó xuất hiện. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán thực tế và phát triển tư duy logic.

2. Định nghĩa chính xác và công thức tính xác suất biến cố hợp

Cho hai biến cố bất kỳ $A$và $B$trên cùng một không gian xác suất, biến cố hợp$A \cup B$là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra. Xác suất của biến cố hợp được xác định theo công thức cộng có điều chỉnh giao của hai biến cố:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Trong đó,$P(A)$và $P(B)$lần lượt là xác suất của biến cố $A$và $B$, còn$P(A \cap B)$là xác suất hai biến cố cùng xảy ra (giao của hai biến cố).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để áp dụng công thức, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xác định không gian mẫu và tính$P(A)$,$P(B)$.

- Bước 2: Tìm xác suất giao$P(A \cap B)$.

- Bước 3: Áp dụng công thức$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ để tính xác suất biến cố hợp.

3.1 Ví dụ minh họa 1: Chọn bài từ bộ bài 52 lá

Xét thí nghiệm chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ 52 lá. Gọi:

$A$= "chọn được lá cơ" (13 lá), P(A) =$\frac{13}{52}$=$\frac{1}{4}$.

$B$= "chọn được lá hình chấm (face card)" (12 lá: J, Q, K của 4 chất), P(B) =$\frac{12}{52}$=$\frac{3}{13}$.

Giao của hai biến cố:$A \cap B$là chọn được lá vừa là cơ, vừa là J, Q, K = 3 lá (J cơ, Q cơ, K cơ), nên P(A \cap B) =$\frac{3}{52}$.

Áp dụng công thức:

$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{3}{13} - \frac{3}{52} = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}.$

3.2 Ví dụ minh họa 2: Tung hai xúc xắc

Xét thí nghiệm tung hai xúc xắc công bằng. Không gian mẫu có 36 kết quả. Đặt:

$A$= "tổng hai mặt xúc xắc bằng 7" (6 trường hợp), P(A) =$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

$B$= "có ít nhất một xúc xắc ra 5" (11 trường hợp), P(B) =$\frac{11}{36}$. Giá trị này lấy từ việc tính bù: số trường hợp không có 5 là $5 \times 5=25$, nên B có 36-25=11.

Giao$A \cap B$= tổng bằng 7 và có ít nhất một 5: các cặp (5,2) và (2,5) → 2 trường hợp, P(A \cap B) =$\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Do đó:

$P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{11}{36} - \frac{1}{18} = \frac{6}{36} + \frac{11}{36} - \frac{2}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

4.1. Biến cố rời rạc (mutually exclusive):$P(A \cap B)=0$khi hai biến cố không thể xảy ra đồng thời. Lúc này:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

Ví dụ: Tung một đồng xu, A = “xuất hiện ngửa”, B = “xuất hiện sấp” → P(A\cup B)=1.

4.2. Biến cố độc lập: nếu A và B độc lập thì $P(A \cap B)=P(A)P(B)$, áp dụng công thức chuẩn để tính xác suất hợp.

Ví dụ: Hai lần tung đồng xu, A = lần 1 ra ngửa, B = lần 2 ra ngửa, P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A)P(B).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phần bù: dùng công thức$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)^c) = 1 - P(A^c \cap B^c)$.

- Công thức bao hàm – loại trừ (inclusion–exclusion) mở rộng cho nhiều biến cố.

- Xác suất có điều kiện:$P(A \cap B)$có thể tính qua$P(A|B)P(B)$hoặc$P(B|A)P(A)$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong một hộp có 5 bi đỏ, 7 bi xanh, 8 bi vàng. Rút ngẫu nhiên một bi. Gọi A = “bi đỏ” và B = “bi vàng”. Tính$P(A \cup B)$.

Lời giải: Không gian mẫu có 5+7+8=20 bi.

$P(A)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$,$P(B)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$, A và B rời rạc nên$P(A \cap B)=0$.

Do đó:$P(A \cup B)=\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$.

Bài tập 2: Tung một con xúc xắc. A = “chia hết cho 3”, B = “chia hết cho 2”. Tính$P(A \cup B)$.

Lời giải: Không gian mẫu 6 kết quả.

$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$(số 3,6);$P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$(số 2,4,6); giao: {6} nên$P(A \cap B)=\frac{1}{6}$.

Do đó:$P(A \cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên trừ xác suất giao khi hai biến cố không rời rạc.

- Nhầm lẫn giữa biến cố độc lập và biến cố rời rạc.

- Không xác định đúng không gian mẫu hoặc tính sai$P(A \cap B)$.

- Áp dụng công thức không phù hợp cho trường hợp nhiều hơn hai biến cố khi cần dùng nguyên lý loại trừ – bao hàm mở rộng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Công thức cơ bản:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

- Với biến cố rời rạc:$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

- Với biến cố độc lập:$P(A \cap B)=P(A)P(B)$.

- Luôn xác định chính xác P(A), P(B) và P(A\cap B) trước khi áp dụng.

Hy vọng hướng dẫn này giúp bạn nắm vững cách tính xác suất biến cố hợp hai biến cố bất kỳ và áp dụng linh hoạt trong các bài toán. Chúc bạn học tập hiệu quả!