Bạn Giỏi phân tích các trường hợp nâng cao — hàm lợi nhuận từng khúc, điều kiện miền xác định và những mẹo thi quan trọng cho kỳ thi THPT.

Trường hợp đặc biệt 1 — Hàm chi phí từng khúc (piecewise):

Khi chi phí có cấu trúc từng khúc (ví dụ giảm giá theo số lượng lớn), hàm $L(x)$ cũng là hàm từng khúc. Cần xét từng khoảng riêng biệt và so sánh giá trị tại điểm nối.

Trường hợp đặc biệt 2 — So sánh doanh thu, chi phí và lợi nhuận:

Trên cùng một đồ thị, quan sát khoảng cách dọc giữa đường doanh thu $R(x)$ và chi phí $C(x)$ : khoảng cách lớn nhất chính là lợi nhuận cực đại.

Mẹo thi THPT Quốc gia:

• Luôn xác định miền xác định thực tế của $x$ (số nguyên dương, thường có giới hạn trên từ điều kiện kỹ thuật).

• Sau khi tìm $x^ = -\dfrac{b'}{2a'}$ (đỉnh parabol), kiểm tra x^ có nằm trong miền xác định không.

• Đừng quên so sánh giá trị $L$ tại các đầu mút của miền xác định với giá trị tại điểm cực đại.

Bạn Giỏi liệt kê những lỗi phổ biến nhất — khi học sinh lớp 12 giải bài toán hàm lợi nhuận, cùng chiến lược loại bỏ từng lỗi.

Nhóm lỗi khái niệm:

• Nhầm lẫn doanh thu và lợi nhuận: Doanh thu $R(x) = p \cdot x$ là tổng tiền bán hàng; lợi nhuận $L(x) = R(x) - C(x)$ mới là số tiền thực sự kiếm được sau khi trừ chi phí.

• Bỏ sót chi phí cố định: Chi phí cố định $C_0$ (thuê mặt bằng, khấu hao máy móc) không thay đổi theo $x$ nhưng phải luôn trừ vào doanh thu.

• Không kiểm tra miền xác định: Giải $L'(x) = 0$ ra $x = 45.7$ nhưng $x$ phải nguyên, phải so sánh $L(45)$ và $L(46)$ .

Nhóm lỗi tính toán:

• Tính sai đạo hàm: Đặc biệt với các hàm có căn thức hoặc hàm hợp: $C(x) = \sqrt{x^2 + 100}$ thì $C'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+100}}$ (không phải $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+100}}$ ).

• Nhầm dấu khi tính $L(x) = R(x) - C(x)$ : Khi khai triển ngoặc sau dấu trừ, phải đổi dấu tất cả các hạng tử. Ví dụ: $R - (20x + 2000) = R - 20x - 2000$ (không phải $- 20x + 2000$ ).

• Quên kiểm tra điều kiện đủ: Tìm được $L'(x^) = 0$ chưa đủ — cần kiểm tra $L''(x^) < 0$ để xác nhận đây là điểm cực đại (không phải cực tiểu hay điểm uốn).