1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của tính chất chia hết của một tổng

Trong chương trình Toán 6, các em không chỉ làm quen với số học mà còn học cách vận dụng tính chất các phép toán để giải quyết những bài toán thực tế và bài toán chứng minh. Trong đó, kiến thức về “tính chất chia hết của một tổng” là nền tảng vô cùng quan trọng để các em hiểu sâu hơn các phép chia, chia hết, chia có dư. Việc vận dụng thành thạo tính chất này sẽ giúp các em giải nhanh các bài toán chia hết, nhận biết số chia hết cho một số nào đó, cũng như làm quen với những dạng toán logic hay chứng minh số học sau này.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về tính chất chia hết của một tổng

Tổng của các số là phép tính cộng các số lại với nhau. Tính chất chia hết của một tổng được phát biểu như sau:

Nếu tất cả các số hạng trong một tổng đều chia hết cho cùng một số $k$, thì tổng đó cũng chia hết cho$k$và ngược lại, nếu tổng chia hết cho$k$mà chỉ có một số hạng không chia hết cho$k$, thì số hạng đó phải chia hết cho$k$.

Công thức khái quát:
Nếu$a, b, c, \ldots$chia hết cho$k$thì $a + b + c + \ldots$chia hết cho$k$.

Ký hiệu chia hết:$a \vdots k$có nghĩa là $a$chia hết cho$k$.

3. Giải thích bước áp dụng tính chất chia hết của một tổng (Có ví dụ minh họa)

Để giải quyết các bài toán chia hết, bạn có thể làm theo các bước sau:

• Bước 1: Xét các số hạng trong tổng xem có chia hết cho$k$không?
• Bước 2: Nếu tất cả đều chia hết cho$k$, kết luận tổng chia hết cho$k$.
• Bước 3: Nếu có một số hạng không chia hết cho$k$, kiểm tra lại theo chiều ngược lại.

Ví dụ minh họa 1:Cho$a = 6$,$b = 12$,$c = 24$. Có tổng$a + b + c$. Hãy xét tổng này có chia hết cho$6$không?

- Ta thấy:$a = 6 \vdots 6$,$b = 12 \vdots 6$,$c = 24 \vdots 6$.

- Do đó theo tính chất chia hết của một tổng,$a + b + c = 6 + 12 + 24 = 42$cũng chia hết cho$6$.

Ví dụ minh họa 2:Cho$A = 7 + 14 + 24$. Tổng$A$có chia hết cho$7$không?

-$7 \vdots 7$(chia hết),$14 \vdots 7$(chia hết), nhưng$24 <br>ot\vdots 7$(không chia hết).

- Do không phải tất cả các số hạng đều chia hết cho$7$, nên không thể kết luận tổng$A$chia hết cho$7$theo chiều thuận. Tuy nhiên, bạn có thể làm như sau:

Tính$A = 7 + 14 + 24 = 45$.$45 \div 7 = 6$dư $3$, tức là $A <br>ot\vdots 7$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Trường hợp 1: Nếu tổng các số hạng chia hết cho$k$, nhưng chỉ có một số chưa biết có chia hết cho$k$không, có thể dựa vào tổng để suy ra số đó.

Ví dụ:$A + B + C = D$và biết$A \vdots k$,$B \vdots k$,$D \vdots k$, khi đó $C \vdots k$.

- Trường hợp 2: Nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho$k$, tổng chắc chắn không chia hết cho$k$.

- Lưu ý: Đối với tổng có các số hạng âm, áp dụng tính chất chia hết hoàn toàn tương tự.

- Không thể kết luận ngược lại: Nếu tổng chia hết cho$k$, không chắc chắn từng số hạng đều chia hết cho$k$(trừ khi chỉ có một số chưa xác định).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tính chất chia hết của một tổng liên quan chặt chẽ tới các kiến thức khác như tính chất chia hết của hiệu, tích, các phép biến đổi đại số, phép chia có dư. Khi vận dụng thành thạo, các em sẽ dễ dàng hơn khi học các chủ đề như: kiểm tra số nguyên tố, tìm bội chung, ước chung, chứng minh một số chia hết cho số khác, đặc biệt trong phần giải bài toán bằng phân tích thành thừa số.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1:Cho$x = 8$,$y = 16$,$z = 24$. Hãy chứng minh$x + y + z$chia hết cho$8$.

Giải:$x = 8 \vdots 8$,$y = 16 \vdots 8$,$z = 24 \vdots 8$nên$x + y + z = 8 + 16 + 24 = 48$cũng chia hết cho$8$.

Bài tập 2:Cho$M = 15 + 25 + 20$. Tổng$M$có chia hết cho$5$không?

Giải:$15 \vdots 5$,$25 \vdots 5$,$20 \vdots 5$nên$M = 60$chia hết cho$5$.

Bài tập 3:Nếu$A, B$là các số chia hết cho$3$, còn$C$không chia hết cho$3$, thì $A + B + C$có chia hết cho$3$không?

Giải:$A + B$chia hết cho$3$, nhưng$C$không chia hết cho$3$nên$A + B + C$không chia hết cho$3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chỉ kiểm tra tổng mà không xét từng số hạng – SAI. Luôn kiểm tra từng số hạng chia hết cho$k$.
• Nhầm lẫn với tính chất chia hết của tích hoặc hiệu. Đọc kỹ đề bài để không áp dụng sai tính chất.
• Kết luận tổng chia hết mà không so sánh với số bị chia. Phải xác nhận chia hết cho đúng số $k$yêu cầu.

Cách tránh: Luôn viết ra từng bước, giải thích rõ ràng, kiểm tra kỹ lưỡng tất cả các số hạng trước khi kết luận.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Nếu tất cả các số hạng đều chia hết cho$k$, tổng của chúng cũng chia hết cho$k$.
• Nếu tổng chia hết cho$k$và biết tất cả trừ một số hạng chia hết cho$k$, thì số còn lại cũng chia hết cho$k$.
• Chỉ áp dụng đúng cho tổng, không nhầm lẫn với tích hoặc hiệu.

Việc nắm vững tính chất này giúp các em giải toán số học tốt hơn, tạo nền tảng vững chắc cho các bài toán chứng minh và suy luận sau này.