1. Giới thiệu bài toán Ba điểm không thẳng hàng và tầm quan trọng

Bài toán về ba điểm không thẳng hàng thường xuất hiện trong chương trình Hình học lớp 6, đặc biệt ở các bài mở đầu về điểm, đường thẳng, đoạn thẳng và hình tam giác. Việc xác định ba điểm không thẳng hàng giúp học sinh hiểu được thế nào là các điểm cùng nằm trên một đường thẳng (thẳng hàng) và khác với trường hợp tạo thành một tam giác (không thẳng hàng). Đây là kiến thức nền tảng cho các dạng bài về tam giác, diện tích, các yếu tố vuông góc, song song,... sau này.

2. Đặc điểm bài toán Ba điểm không thẳng hàng

Một số đặc điểm chính có thể nhận thấy:

• Ba điểm không thẳng hàng là ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng duy nhất.
• Ba điểm không thẳng hàng bất kỳ sẽ tạo thành một và chỉ một tam giác.
• Để xác định điểm thẳng hàng thường dùng kiến thức về điểm, đường thẳng, độ dài đoạn thẳng và các nhận xét về vị trí tương đối của ba điểm.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Ba điểm không thẳng hàng

Chiến lược tổng thể khi gặp loại bài toán này là:

• Đọc kỹ bài và xác định rõ đề bài yêu cầu gì (chứng minh ba điểm không thẳng hàng, tìm ba điểm không thẳng hàng, hay xác định tính chất hình học liên quan đến ba điểm này).
• Vẽ hình minh họa (nếu có thể), đặt tên các điểm rõ ràng.
• Áp dụng định nghĩa: Kiểm tra xem ba điểm đó có nằm cùng trên một đường thẳng hay không bằng các phương pháp khác nhau: dùng định lý, tính độ dài, so sánh tổng các đoạn thẳng, xét tọa độ (nếu học thêm),...
• Nếu chứng minh ba điểm không thẳng hàng, hãy chứng minh rằng không tồn tại đường thẳng đi qua cả ba điểm hoặc ba điểm tạo thành một tam giác có diện tích khác 0.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Sau đây là các bước làm mẫu dạng bài "Chứng minh ba điểm không thẳng hàng":

1. Bước 1: Vẽ hình minh họa, xác định rõ vị trí tương đối các điểm đã cho.
2. Bước 2: Sử dụng định nghĩa ba điểm thẳng hàng: Ba điểm$A$,$B$,$C$thẳng hàng khi và chỉ khi$AB + BC = AC$(với$B$nằm giữa$A$và $C$), hoặc chúng cùng thuộc một đường thẳng.
3. Bước 3: Nếu$AB + BC > AC$hoặc tổng độ dài hai đoạn thẳng nhỏ hơn độ dài đoạn thứ ba, thì ba điểm đó không thể thẳng hàng.
4. Bước 4: Kết luận ba điểm không thẳng hàng, hoặc ba điểm tạo thành tam giác.

Ví dụ minh họa:

Cho ba điểm$A$,$B$,$C$sao cho$AB = 3~\text{cm}$,$BC = 4~\text{cm}$và $AC = 5~\text{cm}$. Hỏi ba điểm$A$,$B$,$C$có thẳng hàng không? Giải thích.

Giải:

+ Ta có $AB + BC = 3 + 4 = 7~\text{cm}$

+$AC = 5~\text{cm}$

Do$7 > 5$, nên theo tính chất ba điểm thẳng hàng,$A$,$B$,$C$không thẳng hàng mà tạo thành một tam giác.

+ Có thể nhận xét rằng với ba đoạn thẳng có độ dài$a$,$b$,$c$bất kỳ ($a$,$b$,$c > 0$), nếu$a + b > c$,$a + c > b$,$b + c > a$thì ba đoạn đó tạo thành tam giác, tức là ba điểm không thẳng hàng.

5. Các công thức, tính chất và kỹ thuật cần nhớ

• Ba điểm$A$,$B$,$C$thẳng hàng nếu và chỉ nếu$AB + BC = AC$hoặc tương tự (khi một điểm nằm giữa hai điểm còn lại)
• Ba điểm không thẳng hàng sẽ tạo thành một tam giác.
• Ba đoạn thẳng$a$,$b$,$c$tạo thành một tam giác khi:$a + b > c$,$a + c > b$,$b + c > a$(bất đẳng thức tam giác).

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Bài toán yêu cầu kiểm tra ba điểm có thẳng hàng không dựa vào số đo góc.
• Bài toán cho biết tọa độ các điểm (học thêm): Ba điểm$A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$thẳng hàng nếu:$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$.
• Bài toán cho biết tổng độ dài các đoạn, yêu cầu chứng minh ba điểm không thẳng hàng.
• Cho biết$\triangle ABC$với ba điểm$A$,$B$,$C$là các đỉnh tam giác, hãy xác định xem các đỉnh đó có thẳng hàng không.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập:

Cho ba điểm$M$,$N$,$P$trên mặt phẳng sao cho$MN = 6~\text{cm}$,$NP = 2~\text{cm}$,$MP = 4~\text{cm}$. Kiểm tra ba điểm$M$,$N$,$P$có thẳng hàng không.

Lời giải chi tiết:

1. Kiểm tra xem tổng hai độ dài bất kỳ có bằng độ dài còn lại không.
2. $MN + NP = 6 + 2 = 8~\text{cm}$;$MP = 4~\text{cm}$→$MN + NP ≠ MP$
3. $MN + MP = 6 + 4 = 10~\text{cm}$;$NP = 2~\text{cm}$→$MN + MP ≠ NP$
4. $MP + NP = 4 + 2 = 6~\text{cm}$;$MN = 6~\text{cm}$→$MP + NP = MN$. Vậy có thể $N$nằm giữa$M$và $P$!

Kết luận:
- Vì $MP + NP = MN$, nên$M$,$P$,$N$thẳng hàng với$P$nằm giữa$M$và $N$.
- Nếu không có dấu bằng ở các phép cộng, ba điểm đó không thẳng hàng!

8. Bài tập thực hành tự luyện

Hãy thử giải các bài sau để củng cố kỹ năng:

1. Cho ba điểm$X$,$Y$,$Z$sao cho$XY = 4~\text{cm}$,$YZ = 7~\text{cm}$,$XZ = 10~\text{cm}$. Các điểm$X$,$Y$,$Z$có nằm thẳng hàng không?
2. Cho ba đoạn thẳng dài$a = 5~\text{cm}$,$b = 5~\text{cm}$,$c = 9~\text{cm}$. Ba đoạn này có thể ghép thành một tam giác không? Tại sao?
3. Trên cùng một mặt phẳng, hãy xác định xem ba điểm$D$,$E$,$F$mà $DE = 3~\text{cm}$,$DF = 5~\text{cm}$,$EF = 7~\text{cm}$có thẳng hàng không?

Đáp án gợi ý sẽ được cập nhật ở phần sau. Hãy thử tự làm trước khi xem đáp án nhé!

9. Lưu ý và mẹo tránh sai lầm phổ biến

• Nên vẽ hình minh họa khi làm bài. Hình vẽ giúp nhìn rõ vị trí các điểm!
• Khi sử dụng độ dài đoạn thẳng, hãy thử mọi khả năng để kiểm tra dấu bằng/tổng các đoạn.
• Ba điểm luôn tạo thành một tam giác khi và chỉ khi ba đoạn thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
• Chú ý trường hợp đặc biệt: ba điểm thẳng hàng có tổng độ dài hai đoạn bằng đoạn còn lại!
• Cẩn trọng với đơn vị đo độ dài, phải đồng nhất các đơn vị trước khi cộng/trừ.

Kết luận

Việc thành thạo "cách giải bài toán ba điểm không thẳng hàng" giúp học sinh hiểu rõ bản chất về điểm, đoạn thẳng, tam giác và phục vụ rất tốt cho việc học Hình học bậc THCS. Hãy luyện tập nhiều ví dụ và luôn kiểm tra điều kiện bài toán một cách cẩn thận!