1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình giải tích lớp 12, việc xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn cho trước là một trong các kỹ năng cơ bản và quan trọng. Đây không chỉ là nền tảng cho việc giải các bài toán tối ưu trong thực tế (tìm diện tích lớn nhất, chi phí nhỏ nhất, lợi nhuận tối đa…) mà còn là bước đệm để học sinh nắm vững các định lý quan trọng như định lý Rolle, định lý giá trị trung bình và hiểu sâu về đặc tính của hàm số.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Cho hàm số $f$xác định và liên tục trên đoạn$[a,b]$. Khi đó:

• Giá trị lớn nhất của$f$trên$[a,b]$là số $M$sao cho với mọi$x \in [a,b]$, ta có $f(x)\le M$, và tồn tại ít nhất một$x_0 \in [a,b]$sao cho$f(x_0)=M$.

• Giá trị nhỏ nhất của$f$trên$[a,b]$là số $m$sao cho với mọi$x \in [a,b]$, ta có $f(x)\ge m$, và tồn tại ít nhất một$x_1 \in [a,b]$sao cho$f(x_1)=m$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Kỹ thuật chung để tìm GTLN và GTNN trên đoạn$[a,b]$gồm các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm$f'(x)$

Đạo hàm cho biết tốc độ biến thiên của hàm số. Việc tính$f'(x)$giúp tìm điểm tới hạn (nơi$f'(x)=0$hoặc$f'(x)$không xác định).

Bước 2: Xác định điểm tới hạn trong$(a,b)$

Giải phương trình$f'(x)=0$ để tìm các điểm$x_c$nằm trong khoảng$(a,b)$. Đồng thời, xem xét những điểm mà $f'(x)$không xác định nhưng$f(x)$vẫn xác định đúng.

Bước 3: Đánh giá giá trị của$f$tại các điểm đặc biệt và hai đầu đoạn

Tính$f(a)$,$f(b)$và $f(x_c)$với mọi điểm tới hạn$x_c$. So sánh các giá trị này để xác định GTLN và GTNN trên$[a,b]$.

Ví dụ minh họa

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+1$xác định trên đoạn$[0,2]$. Tìm GTLN và GTNN.

• Bước 1: Tính đạo hàm: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<!--LATEX_PROCESSED_1753760168825--></p><p>• Bước 2: Giải$

• Bước 2: Giải$ f'(x)=0\Rightarrow x=0\text{hoặc}x=2 $. Cả hai đều thuộc$ [0,2]$.

• Bước 3: Tính giá trị:

$f(0)=1,<br />f(2)=2^3-3 \cdot 2^2+1=8-12+1=-3$

So sánh: trong ba giá trị $1, -3, f(2)$(thực ra trùng với điểm tới hạn) thì GTLN là $1$tại$x=0$, GTNN là $-3$tại$x=2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hàm số không liên tục hoặc không xác định tại một số điểm trong$[a,b]$, ta cần chia nhỏ đoạn thành những khoảng liên tục.
• Nếu$f'(x)$không tồn tại tại một điểm nhưng$f(x)$vẫn xác định, điểm đó vẫn có thể là ứng viên GTLN hoặc GTNN.
• Đối với hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn$[a,b]$, GTLN và GTNN luôn xảy ra tại hai đầu đoạn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Định lý Rolle và định lý giá trị trung bình: Điểm tới hạn là điều kiện cần để áp dụng các định lý này.
• Ứng dụng trong bài toán tối ưu: Dùng để tìm diện tích tối đa, chi phí tối thiểu, lợi nhuận tối đa…
• Phép biến đổi hàm: Kết hợp với khảo sát sự biến thiên giúp hiểu sâu tính chất của đồ thị hàm số.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho$f(x)=x^2-4x+5$trên đoạn$[1,4]$. Tìm GTLN và GTNN.

Lời giải:
•$f'(x)=2x-4=0 \Rightarrow x=2 \in [1,4]$.
•$f(1)=1-4+5=2$;f(2)=4-8+5=1;f(4)=16-16+5=5.
→ GTNN =$1$tại$x=2$; GTLN =$5$tại$x=4$.

Bài tập 2

Cho$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x$trên đoạn$[-3,3]$. Tìm GTLN và GTNN.

Lời giải:
• $f'(x)=x^2-2=0 \Rightarrow x= \pm \sqrt{2} \in [-3,3]$.
• $f(-3)=-9+6=-3$; $f(-\sqrt{2})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}+2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$;
$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2}=-\frac{4\sqrt{2}}{3}$;
$f(3)=9-6=3$.
→ GTLN = $3$tại$x=3$; GTNN = $-\frac{4\sqrt{2}}{3}$tại$x=\sqrt{2}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên xét giá trị tại hai đầu đoạn: luôn tính$f(a)$và $f(b)$.
• Bỏ sót điểm mà $f'(x)$không xác định.
• Nhầm lẫn giữa điểm tới hạn và cực trị: Điểm tới hạn chỉ là ứng viên, phải so sánh giá trị.
• Không kiểm tra tính liên tục: nếu hàm không liên tục, cần chia nhỏ khoảng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Để tìm GTLN và GTNN trên$[a,b]$: tính$f'(x)$, xác định điểm tới hạn, tính giá trị hàm tại các điểm này và tại$a,b$.
• So sánh các giá trị vừa tính được: giá trị lớn nhất là GTLN, nhỏ nhất là GTNN.
• Luôn kiểm tra tính liên tục và xét mọi ứng viên (điểm tới hạn, điểm không xác định, các đầu mút).

Với phương pháp hệ thống, học sinh lớp 12 sẽ tự tin giải quyết các bài toán tối ưu cơ bản và nắm vững nền tảng cho những ứng dụng nâng cao hơn.