1. Giới thiệu về bài toán nhận biết ba điểm thẳng hàng

Bài toán nhận biết ba điểm thẳng hàng là một kiến thức nền tảng quan trọng của hình học lớp 6. Bằng cách hiểu và nhận biết được ba điểm thẳng hàng, học sinh sẽ nâng cao khả năng tư duy lôgic, hiểu bản chất các định nghĩa hình học và là cơ sở cho nhiều bài toán khó hơn về sau như tam giác, tứ giác, đồng quy, đồng thẳng, v.v. Nắm vững cách giải bài toán nhận biết ba điểm thẳng hàng giúp học sinh tự tin hơn khi học hình học và giải quyết nhiều tình huống thực tế liên quan đến đường thẳng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán nhận biết ba điểm thẳng hàng

Loại bài toán này thường yêu cầu học sinh:

• Chỉ ra ba điểm có thẳng hàng hay không dựa vào hình vẽ hoặc thông tin đề bài cho.
• Giải thích hoặc chứng minh lí do ba điểm thẳng hàng bằng các định nghĩa, tính chất hoặc công thức hình học.
• Tìm thêm điểm thẳng hàng với hai điểm đã cho.

Bài toán có thể xuất hiện dưới dạng hình học phẳng hoặc tọa độ, qua đó đề cao kỹ năng tư duy, quan sát hình và vận dụng các kiến thức đã học.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các điểm liên quan (ký hiệu, vị trí).
2. Vẽ hình minh họa nếu có thể.
3. Xác định các kiến thức cần thiết (định nghĩa, tính chất ba điểm thẳng hàng).
4. Áp dụng phương pháp phù hợp: dùng định nghĩa, vẽ hình phụ, kiểm tra độ dài, dùng tọa độ,...
5. Giải thích rõ ràng, đầy đủ bước suy luận.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy cùng xem một số ví dụ cụ thể và các bước giải:

Ví dụ 1: Ba điểm thẳng hàng trên hình vẽ

Cho ba điểm$A$,$B$,$C$cùng nằm trên một đường thẳng$d$. Hỏi ba điểm này có thẳng hàng không?

Giải:Ba điểm$A$,$B$,$C$cùng nằm trên một đường thẳng$d$nên theo định nghĩa, chúng chắc chắn thẳng hàng.

Ví dụ 2: Ba điểm xác định trên đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng$AB$, lấy điểm$C$nằm giữa$A$và $B$. Chứng minh rằng$A$,$B$,$C$thẳng hàng.

Giải:Vì $C$nằm giữa$A$và $B$, ba điểm$A$,$B$,$C$nằm trên cùng một đoạn thẳng. Do một đoạn thẳng thuộc một đường thẳng duy nhất nên ba điểm này thẳng hàng.

Ví dụ 3: Nhận biết ba điểm thẳng hàng bằng tọa độ

Cho ba điểm$A(0; 0)$,$B(2; 2)$,$C(4; 4)$. Hỏi ba điểm này có thẳng hàng không?

Giải:Tính toán hệ số góc giữa hai đoạn thẳng$AB$và $BC$:

Hệ số góc của$AB$là:

Hệ số góc của$BC$là:

Vì $k_{AB} = k_{BC}$nên ba điểm$A$,$B$,$C$thẳng hàng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.
• Kỹ thuật nối các điểm, kiểm tra xem có nằm cùng một đường thẳng không.
• Dùng hệ số góc: Với ba điểm$A(x_A; y_A)$,$B(x_B; y_B)$,$C(x_C; y_C)$, chúng thẳng hàng nếu$\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$(hai phân thức đều xác định).
• Kiểm tra tổng, hiệu độ dài đoạn thẳng: Nếu ba điểm$M$,$N$,$P$nằm trên đoạn thẳng, thì $MN + NP = MP$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Ba điểm cho bởi mô tả hình học (không có tọa độ): Cần chú ý đến vị trí tương đối và các tính chất cơ bản của đường thẳng.
• Ba điểm cho bởi tọa độ: Áp dụng công thức hệ số góc hoặc xét tỉ số.
• Bài toán yêu cầu tìm điểm thứ ba sao cho ba điểm thẳng hàng: Áp dụng các hệ thức trong bài hoặc trục số.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:Cho ba điểm$M(1; 2)$,$N(3; 6)$,$P(5; 10)$. Hãy xác định các điểm này có thẳng hàng không?

Giải:

1. Tính hệ số góc của$MN$:

1. Tính hệ số góc của$NP$:

1. Vì $k_{MN} = k_{NP}$nên ba điểm$M$,$N$,$P$thẳng hàng.

Bài tập mẫu 2:Cho đoạn thẳng$AB$, lấy điểm$I$sao cho$AI = IB$. Tìm điểm$I$và cho biết$A$,$I$,$B$có thẳng hàng không?

Giải:Điểm$I$là trung điểm của$AB$, nên chắc chắn nằm trên đoạn thẳng$AB$. Suy ra$A$,$I$,$B$thẳng hàng.

8. Bài tập thực hành

1. Cho ba điểm$A(1;1)$,$B(3;2)$,$C(7;4)$. Các điểm này có thẳng hàng không? Giải thích.
2. Vẽ đoạn thẳng$MN$. Lấy điểm$P$nằm trên đoạn$MN$. Hỏi ba điểm$M$,$P$,$N$có thẳng hàng không? Vì sao?
3. Tìm một điểm$K$nằm trên đường thẳng nối$A(2;3)$và $B(6;7)$sao cho$AK = 2KB$. Tìm tọa độ điểm$K$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ hình (nếu có thể) để dễ quan sát.
• Kiểm tra lại điều kiện các điểm khác nhau và không trùng nhau.
• Khi sử dụng hệ số góc, đảm bảo mẫu số khác 0 (không chia cho 0).
• Nếu hai đoạn thẳng có hệ số góc bằng nhau và có điểm chung, chúng cùng trên một đường thẳng.
• Đối với bài toán mô tả hình không có số liệu, cần tư duy logic, liên hệ với các tính chất cơ bản của điểm và đường thẳng.